光滑流形

光滑流形是一种几何对象, 是带有附加结构的流形. 流形描述的是 Euclid 空间中的曲线、曲面, 以及它们的高维类比. 我们遇见的大多数流形都是光滑的, 即都具有这种附加结构, 因此 “流形” 一词也常常直接指光滑流形.

研究光滑流形的学科称为微分几何.

1定义

定义 1.1 (光滑流形). 设 $n$ 是自然数, $X$ 是 $n$ 维拓扑流形.

•	$X$ 的局部坐标是指二元组 $(U,\phi )$, 其中 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集, $\phi :U\to X$ 是连续映射, 并且$$\phi :U\simeq \phi (U)$$是到开子集 $\phi (U)\subset X$ 的同胚.

•	$X$ 的坐标图册是指一族局部坐标 $\{(U_i,{\phi }_i){\}}_{i\in I}$, 使得各 ${\phi }_i(U_i)$ 构成 $X$ 的开覆盖, 即满足$$X=\bigcup _{i\in I}{\phi }_i(U_i).$$

•	在坐标图册 $\{(U_i,{\phi }_i){\}}_{i\in I}$ 中, 对 $i,j\in I$, 从第 $i$ 个局部坐标到第 $j$ 个局部坐标的转移映射是同胚映射$${\phi }_j^{-1}\circ {\phi }_i:{\phi }_i^{-1}({\phi }_j(U_j))\simeq {\phi }_j^{-1}({\phi }_i(U_i)).$$这是 ${\mathbb{R}}^n$ 的两个子集之间的映射.

•	一个坐标图册称为光滑相容的, 如果其中所有的转移映射都是光滑映射.

•	$X$ 的一个光滑结构是指 $X$ 的一个光滑相容的图册, 并且它是极大的: 在图册中任意加入一个不同的局部坐标, 它都会变成不光滑相容的.

光滑流形就是指带有一个光滑结构的拓扑流形.

注 1.2. 在不同的文献中, 光滑流形的定义可能会有稍许不同. 以下列出几种常见的变形:

•	有时要求局部坐标以整个 ${\mathbb{R}}^n$ 为定义域, 即考虑形如 $\phi :{\mathbb{R}}^n\to X$ 的映射, 而不是从 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集 $U$ 出发的映射. 如果这样定义, 则光滑结构中会少一些局部坐标, 但定义出的光滑流形的概念和上述定义是等价的.

•	光滑流形有时也定义为带有一个光滑相容的图册的拓扑流形. 这与上述定义可以互相转换, 因为每个光滑相容的图册都可以延拓成一个极大的光滑相容的图册.

2例子

•	Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 是最简单的光滑流形. ${\mathbb{R}}^n$ 中的非空开集也都是 $n$ 维光滑流形.

•	球面 $S^n$ 是一类常见的光滑流形, 是最常见的紧光滑流形之一.

•	有时, 同一个拓扑流形会带有不同的光滑结构. 例如, ${\mathbb{R}}^4$ 就带有无限种不同的光滑结构, 称为怪 ${\mathbb{R}}^4$. 当 $n\ge 7$ 时, 球面 $S^n$ 也常常带有不同的光滑结构, 称为怪球.

3性质

作为环化空间

定义 3.1 (局部环化空间 $({\mathbb{R}}^n,{\mathcal{C}}^{\infty })$). 局部环化空间 $({\mathbb{R}}^n,{\mathcal{C}}^{\infty })$ 由 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 和它上面的光滑函数层 ${\mathcal{C}}^{\infty }$ 构成.

命题 3.2. 光滑流形的概念等价于如下定义的概念: 光滑流形是局部环化空间 $X$, 它局部同构于 $({\mathbb{R}}^n,{\mathcal{C}}^{\infty })$ (定义 3.1), 并且是 Hausdorff、第二可数空间.

4相关概念

•	拓扑流形
•	Riemann 流形
•	复流形
•	辛流形

5参考文献

详细介绍光滑流形的教材:

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

术语翻译

光滑流形 • 英文 smooth manifold • 德文 glatte Mannigfaltigkeit • 法文 variété lisse • 拉丁文 multiplex teres • 古希腊文 λεία πολλαπλούτης