Einstein 求和约定

Einstein 求和约定是线性代数和微分几何中的约定. 它与指标约定一起有助于理清概念、简化计算. 它的具体陈述是:

约定 0.1. 在对一些指标的求和式中, 如其中每个指标在求和项的上下指标各出现一次, 则可以省略求和符号.

1例子

以下给定线性空间的一组基或微分流形的一组坐标卡, 其中涉及的指标满足指标约定.

•

张量的分量形式可以简化$$\begin{array}{rl}T& =\sum _{i_1,\dots ,i_p,j_1,\cdots ,j_q}{T}_{i_1,\dots ,i_p}^{j_1,\cdots ,j_q}{e}_{j_1}\otimes \cdots \otimes e_{j_q}\otimes f^{i_1}\otimes \cdots \otimes f^{i_p}\\ & =:T_{i_1,\dots ,i_p}^{j_1,\cdots ,j_q}{e}_{j_1}\otimes \cdots \otimes e_{j_q}\otimes f^{i_1}\otimes \cdots \otimes f^{i_p}\end{array}$$

•	对 Riemann 度量 $g$ 和向量场 $X,Y$, $g(X,Y)={\sum }_{i,j}{g}_{ij}{X}^i{Y}^j$. 此式可简化为 $g_{ij}{X}^i{Y}^j$.

•	矩阵乘积公式 $(AB{)}_j^i={\sum }_k{A}_k^i{B}_j^k$. 的右式可简化为 $A_k^i{B}_j^k$.

•	在 Einstein 求和约定下 ${\delta }_i^i$ 是向量空间 (或流形) 的维数而不是 $1$.

2相关概念

•

指标约定

术语翻译

Einstein 求和约定 • 英文 Einstein summation convention • 德文 Einsteinsche Summenkonvention • 法文 convention de sommation d’Einstein