指标约定

指标约定是线性代数和微分几何中一种记号约定. 大致来说, 它通过张量的分量的指标的位置来反映张量所在的空间, 它和 Einstein 求和约定一起可以用于理清概念并简化计算.

1线性代数中

对有限维向量空间 $V$ 和它的一组基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ , 我们约定

•	空间 $V$ 中元素 $x$ 的分量写为上指标: $x = \sum_{i = 1}^{n} x^{i} e_{i}$ .

•	对偶空间 $V$ 中元素 $f$ 的分量写为下指标: $f_{i} := f (e_{i})$ .

•	对一般的张量 $x \in (V^{})^{\otimes p} \otimes V^{\otimes q}$ , 它在每个 $V^{}$ 中的分量写为下指标, 在每个 $V$ 中的分量写为上指标.

在给定 $V$ 上的对称、非退化二次型 $g$ 后, 我们可以赋予指标的位置和向量所在空间不合时相应指标的含义: 先使用 $g$ 诱导的同构 $V ≃ V^{*}$ 转化为与指标相容的向量, 再取相应分量.

具体地说, 记 $g$ 的分量形式是 $g_{ij}$ (在基域特征非 $2$ 时, 它在 $(V^{*})^{\otimes 2}$ 中), 记它作为矩阵的逆是 $g^{ij}$ , 约定:

•	对 $V$ 中元素 $x$ , $x_{i}$ 表示 $\sum_{j = 1}^{n} g_{ij} x^{j}$ ; 对 $V^{*}$ 中元素 $f$ , $f^{i}$ 表示 $\sum_{j = 1}^{n} g^{ij} f_{j}$ ; 对一般的张量的约定类似.

光滑流形 $M$ 和它一点附近的坐标卡诱导了它一点附近的向量场 $e_{1}, \dots, e_{n}$ , 我们约定

•	向量场, 即切丛 $T M$ 的截面 $X$ 的分量写为上指标: $X = \sum_{i = 1}^{n} X^{i} e_{i}$ .

•	$1$ -形式, 即余切丛 $T^{*} M$ 的截面 $ω$ 的分量写为下指标: $ω_{i} := ω (e_{i})$ .

•	对一般的张量场, 即 $(T^{} M)^{\otimes p} \otimes (T M)^{\otimes q}$ , 的截面, 它在每个 $T^{} M$ 中的分量写为下指标, 在每个 $T M$ 中的分量写为上指标.

在给定 $V$ 上的度量张量, 即对称、非退化 $(2, 0)$ -张量 $g$ 后, 我们可以同样利用 $g$ 诱导的切丛与余切丛的同构互换对不合的指标赋予含义. 具体地说, 记 $g$ 的分量形式是 $g_{ij}$ , 记它作为矩阵的逆是 $g^{ij}$ . 则约定:

•	对向量场 $X$ , $X_{i}$ 表示 $\sum_{j = 1}^{n} g_{ij} X^{j}$ ; 对 $1$ -形式 $ω$ , $ω^{i}$ 表示 $\sum_{j = 1}^{n} g^{ij} ω_{j}$ ; 对一般的张量场的约定类似.

•	如上所述, 向量空间中向量的分量的指标写在上面, 线性函数和二次型的分量的指标写在下面.

•	如上所述, 向量场的分量的指标写在上面, 微分形式和度量张量的分量的指标写在下面.

•	记 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 的对偶基为 $f^{1}, \dots, f^{n}$ , 则恒等映射 $id \in End (V) ≃ V \otimes V^{*}$ 的分量形式为 $\sum_{i = 1}^{n} e_{i} \otimes f^{i}$ . 这说明把 $e_{i}$ 和 $f^{j}$ 的指标这么写确实有其道理.

•	$e_{i} = \sum_{i = 1}^{n} δ_{i}^{j} e_{j}$ . 因此最好把 $δ$ 函数的指标上下各写一个.

•	矩阵如视为线性变换的分量形式, 则它元素的指标最好上下各写一个; 如视为双线性型的分量形式, 则两个指标都最好在下面. 不过此规定一般不会严格遵守.

有时在微分几何中还会把指标写在不正确的地方以简化记号, 虽然这样会导致歧义. 例如:

•	对 $(p, q)$ -张量场 $T$ , 它的协变导数 $\nabla T$ 是 $(p + 1, q)$ -张量场, 其分量 $(\nabla T)_{i, i_{1}, \dots, i_{p}}^{j_{1}, \dots, j_{q}}$ 记作 $\nabla_{i} T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{j_{1}, \dots, j_{q}}$ . 后者并不等于函数 $T_{i_{1}, \dots, i_{p}}^{j_{1}, \dots, j_{q}}$ 的导数.

•	张量
•	Einstein 求和约定

术语翻译

指标约定 • 英文 index convention • 法文 convention d’indice