量子场论

在物理学中, 量子场论是一种描述微观粒子及其相互作用的理论. 粒子物理的标准模型建立在量子场论之上, 是目前与实验结果符合最好的微观物理理论.

量子场论也就是将量子力学的想法引入经典场论, 或者说将后者量子化. 经典场论研究经典场及其相互作用, 例如在经典电磁学中, 电磁场由 Maxwell 方程组所描述. 这一理论的量子化是量子电动力学, 它是一种量子场论, 是描述电磁场的量子理论, 也是首个与狭义相对论相容的量子理论.

一般的量子场论并没有精确的数学定义, 但量子场论中蕴藏着丰富和深刻的数学结构. 这些结构启发了很多新的数学, 其影响遍布数学的几乎所有分支.

量子场论的一个主要问题是, 它与广义相对论不相容, 也就是说, 它无法解释引力. 有若干种试图将量子场论与广义相对论结合的理论, 即量子引力理论, 其中最具代表的是弦论, 但这些理论目前无法由实验验证.

1想法

起源

量子场论的雏形诞生于 1920 年代, 人们尝试将量子力学应用在电磁学中, 以描述电磁场及其与带电粒子的相互作用. 经典电磁学的理论基础是 Maxwell 方程组, 但该方程组涉及光速, 因此当变换参考系时, 该方程组会跟着改变. 为解决这一问题, Einstein 发明了狭义相对论, 提出光速在任何参考系中都相同. 从而, 电磁学的自洽性需要依赖狭义相对论. 因此, 为将量子力学与电磁学结合, 首先需要能够将量子力学与狭义相对论结合.

1927 年, Dirac 提出了量子电动力学的初步理论. 其中的一个重要的想法可以从以下两个相似角度叙述:

•	从相对论的角度看: 在量子力学中, 不确定性原理说明, 系统的能量不是完全确定的, 在足够短的一段时间内, 能量可以有非常大的波动. 在狭义相对论中, 质量与能量可以相互转换. 因此, 波动的能量可以用来创造新的粒子. 换言之, 只要给定的时间足够短, 那么在这段时间里, 粒子就可以凭空产生和消灭. 这一现象称为量子波动.

•	从电磁学的角度看: 不确定性原理还说明, 粒子不可能呆在同一个位置保持不动, 否则其位置和动量就能同时确定. 例如, 对于量子谐振子而言, 即使粒子处于基态 (即能量最低的状态), 它也会在平衡位置附近波动, 并因此具有非零的能量. 根据这一现象, 如果用量子力学来描述电磁场, 那么即使在真空中, 电磁场也不会保持恒为 $0$, 而是会有微小波动, 并因此具有非零的能量. 而电磁场的波动正是电磁波, 其能量由光子携带. 这说明真空中的量子波动导致光子凭空产生和消灭.

Dirac 使用这一理论解释原子中的电子跃迁现象, 例如处于高能级的电子为何会自发释放一个光子, 而跳跃到更低的能级: 电磁场的量子波动促使这一现象发生.

上述讨论的结论是, 基于 Schrödinger 方程的量子力学无法做到与狭义相对论相容, 因为在量子力学中, 粒子是永生的, 不会产生或消灭. 我们接下来说明, 在量子场论中, 可以通过场来描述粒子的产生、消灭和相互作用.

量子场

在经典力学中, 考虑一块桌布, 其边缘被固定住, 其余部分可以自由运动. 我们把它想成一系列质量为 $m$ 的小球, 中间用弹簧连接起来, 如下图所示.

我们主要考虑桌布的竖直方向运动, 故可以假设每个小球只有 $z$ 坐标可以改变. 写下系统的 Lagrange 量为$$L=\frac{1}{2}(\sum _{a}m{\dot{z}}_a^2-\sum _{a,b}{k}_{ab}(z_a-z_b{)}^2),$$其中 $a,b$ 等为小球的编号, $k_{ab}$ 为弹簧的劲度系数. 不难求出系统的运动方程$$m{\ddot{z}}_a=-\sum _b{k}_{ab}(z_a-z_b).$$由此就可以解出系统的不同振动模式, 这些模式可以互相叠加.

为了描述桌布的运动, 我们令小球的数目趋于无穷, 小球之间的间隔趋于零. 这样, 得到桌布的 Lagrange 量$$L=\frac{1}{2}(\rho {\int }_a\dot{\phi }(a{)}^{2}da-k{\int }_a|\nabla \phi (a){|}^{2}da),$$这里 $\rho$ 是密度, $a$ 是面积元, $\phi (a)$ 即该点的 $z$ 坐标. 忽略常数 $\rho$、$k$, 其运动方程是波方程$$\ddot{\phi }={\nabla }^2\phi ,$$其中 ${\nabla }^2$ 是 Laplace 算子. 它描述了波如何在桌布上传播: 例如, 抖动桌布的一端, 形成的机械波就会以固定的速度一直传播下去.

在量子场论中, 我们把这样的波看成是粒子. 类似量子谐振子的能量只能取离散值, 量子场的能量也是一份一份的, 每一份能量就被称为 “一个粒子”. 只要抖动桌布 (例如引入合适的势能项), 就能创造或消灭粒子. 这解释了上一节中提到的场论与量子力学的本质不同之处.

事实上, 量子谐振子可以看成 $0$ 维空间上的量子场论. 这时, 我们不能将谐振子里振动的东西视为粒子, 而要将其视为场; 和上述一样, 我们将场的振动模式称为粒子. 这么说, 其第 $n$ 能级 (从第 $0$ 开始数) 可以看作有 $n$ 个粒子的态. 这一语境也解释了量子谐振子中产生、湮灭算子的命名.

上面描述的桌布理论属于经典场论, 它可以经过量子化, 变成一个量子场论. 在量子力学中, 我们已经知道如何将谐振子量子化, 也知道如何将上述弹簧和小球的理论量子化. 令小球的数量趋于无穷、间隔趋于 $0$, 就给出了场的量子理论.

这一量子场论称为平面上无质量的自由标量场论. 无质量是因为, 我们看见粒子 (波) 以固定的速度 (光速) 传播. 自由是因为, 波方程的解可以线性叠加, 因此当两束波相遇时, 它们会沿着各自的路线前进, 而互不打扰. 此时, 我们说两个粒子之间没有相互作用, 即 “自由”. 标量是指场 $\phi$ 的取值是标量. 这一理论已经可以对光子做出不错的描述, 但这一描述并不完全准确, 需要量子电动力学才能完全准确地描述光子.

相互作用

路径积分、Feynman 图

2分支与方法

以下是物理学中量子场论的主要分支 (或研究方法).

自由量子场论

(...)

微扰量子场论

微扰量子场论并非描述完整的量子场论, 而只是描述相互作用很弱时场论的行为, 或者说研究场论在自由场论附近的微扰行为. 然而, 由于便于计算, 微扰论是在物理学中进行计算的主要途径.

拓扑量子场论

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共形场论

(...)

3数学描述

量子场论的数学描述主要有以下几种.

代数量子场论

代数量子场论基于以下想法. 在经典场论中, 所有可观测量即是所有场构成的空间上的函数环, 它是一个交换代数. 但在量子力学和量子场论中, 可观测量的代数变得不交换. 给定时空流形中的开集 $U$, 就有 $U$ 上的量子可观测量的代数. 这是时空流形上的一种代数结构, 有若干种相似的方法来描述这种代数结构, 包括 Haag–Kastler 公理中的局部网, 及由 Costello 和 Gwilliam 发展的分解代数.

函子量子场论

函子量子场论通过时空流形中的配边来描述时间演化. 在 $n+1$ 维时空中, 量子场论给 $n$ 维子流形赋予一个态空间, 给两个这样的子流形间的 $n+1$ 维配边赋予态空间之间的映射, 描述时间演化. 这样能得到配边范畴到向量空间范畴 (或类似的范畴) 之间的函子. 我们要求该函子是幺半函子, 也就是说, 两个 $n$ 维子流形的无交并上的态空间应为它们各自态空间的张量积.

这种方法定义出的严格数学对象包括拓扑量子场论、二维共形场论.

4相关概念

•

弦论

术语翻译

量子场论 • 英文 quantum field theory (QFT) • 德文 Quantenfeldtheorie (f) • 法文 théorie quantique des champs (f) • 拉丁文 theoria quantica camporum (f) • 古希腊文 ποσικὴ θεωρία πεδίων (f)