Fitting 子群

Fitting 子群是一个重要的有限群论研究对象, 最早由 Hans Fitting 提出. 对有限群 $G$, 它总是存在最大的正规幂零子群 $F(G)$, 这群被称为 $G$ 的 Fitting 子群. 对于 $G$ 是有限可解群的情况, $F(G)$ 表现良好.

1定义

定义 1.1. 对有限群 $G$, 它的全体正规幂零子群生成的子群 $F(G)$ 称为 $G$ 的 Fitting 子群.

而上述构造的幂零性由下面的 Fitting 定理和数学归纳法保证.

定理 1.2 (Fitting). 对有限群 $G$ 的两个幂零正规子群 $H_1,H_2$, 它们的乘积 (生成的子群) $H_1{H}_2\le G$ 也是幂零正规子群.

进一步地, 若用 $c(H)$ 表示一个幂零群 $H$ 的最短中心列长度, 则 $c(H_1{H}_2)\le c(H_1)+c(H_2)$.

证明. 为证明幂零性, 我们考虑 $L:=H_1{H}_2$ 的下中心列. 即设 $L_0:=L,L_n:=[L_{n-1},L]=⟨xy{x}^{-1}{y}^{-1}:x\in L_{n-1},y\in L⟩=[\underset{n}{\underbrace{L,\cdots ,L}}]$ 不断取交换子生成的群, 现在我们声称 $L_s$ 是全体 $2^s$ 个 $[X_1,\cdots ,X_s]$ 的乘积, 其中 $X_i$ 要么为 $H_1$ 要么为 $H_2$.

这件事来自于如下的观察, 若 $A,B,C$ 为 $G$ 的正规子群, 则 $[AB,C]=[A,C][B,C]$ (不妨设 $bc=c_{1}b$, 由此计算得 $[ab,c]=[a,c_1][b^{-1},c_1{]}^{-1}$, 另一边包含显然), 类似地 $[A,BC]=[A,B][A,C]$ 都是正规子群. 另外我们还将用到 $[A,B]\le A$.

现在对于 $s>c(H_1)+c(H_2)$, 则 $X_1,\cdots ,X_s$ 中要么 $H_1$ 出现了 $c(H_1)+1$ 次, 要么 $H_2$ 出现了 $c(H_2)+1$ 次. 我们声称此时 $[X_1,\cdots ,X_s]$ 总是 $0$. 对 $s$ 归纳容易证明如果 $X_i$ 都是正规子群, 若其中 $A$ 出现 $k$ 次则 $[X_1,\cdots ,X_s]\le [\underset{k}{\underbrace{A,\cdots ,A}}]$. (倘若 $X_s\ne A$ 则 $[X_1,\cdots ,X_s]\le [X_1,\cdots ,X_{s-1}]\le [\underset{k}{\underbrace{A,\cdots ,A}}]$, 否则 $X_s=A$ 将导致 $[X_1,\cdots ,X_s]\le [[\underset{k-1}{\underbrace{A,\cdots ,A}}],A]=[\underset{k}{\underbrace{A,\cdots ,A}}]$. ) 于是 $s>c(H_1)+c(H_2)$ 时 $L_s=0$ 从而 $L$ 的下中心列长度不超过 $c(H_1)+c(H_2)$, 结论得证.

$\square$

2性质

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