正规子群

正规子群是在共轭作用下不变的子群. 只有正规子群才能用来定义商群.

1定义

定义 1.1. 群 $G$ 的子群 $H$ 是正规子群, 如果对任意 $g\in G$ 和 $h\in H$, 有$$gh{g}^{-1}\in H.$$等价地说, 我们有$$gH{g}^{-1}=H.$$此时, 我们记 $H⊲G$.

注 1.2. 在上述定义中, 由 $h\mapsto gh{g}^{-1}$ 的映射称为 $g$ 的共轭作用, 记为 ${\mathrm{Ad}}_g$. 上述定义即等价于说 $H$ 对 $G$ 中任意元素的共轭作用下稳定.

注 1.3. 条件 $gH{g}^{-1}=H$ 等价于$$gH=Hg,$$即 $H$ 的左陪集与右陪集相同.

2性质

命题 2.1. 对群 $G$ 的正规子群 $H$, 左陪集之集 $G/H$ 与右陪集之集 $H\backslash G$ 相同, 并带有自然的群结构.

证明. 因为 $H$ 是正规子群, 所以对任何 $g\in G$, 有 $gH=Hg$. 集合 $G/H$ 上的群结构定义为$$\begin{array}{rl}(g_{1}H)\cdot (g_{2}H)& =\{g_1{h}_1{g}_2{h}_2\mid h_1,h_2\in H\}\\ & =g_1{g}_{2}H,\end{array}$$其单位元为 $H$, 元素 $gH$ 的逆元为 $g^{-1}H$.

$\square$

定义 2.2. 以上构造的群 $G/H$ 称为商群.

3例子

•	对任意群, 其本身和平凡群均是其正规子群.
•	群同态的核是正规子群. 这是群的第一同构定理的一部分. ∘ 特殊线性群是一般线性群的正规子群.
•	包含于群的中心的子群为正规子群, 这是因为共轭作用在中心上的限制为恒等映射.
•	Abel 群的任何子群均为正规子群, 这是上一例的特例.

4相关概念

•	子群
•	商群
•	单群

术语翻译

正规子群 • 英文 normal subgroup • 德文 Normalteiler (m); normale Untergruppe (f) • 法文 sous-groupe normal (m)

正规 (形容词) • 英文 normal • 德文 normal • 法文 normal