可解群

可解群是群的一类, 指其中存在有限长的正规子群链, 使得其中每一个子商都交换的群. 换言之, 可解群是从 Abel 群出发, 经由有限步群扩张而得到的群.

可解群的名称来自以下结果: 判定有理系数多项式方程是否根式可解等价于判定其对应的 Galois 群是否是可解群. 这一结果是 Galois 的著名工作.

1定义

命题 1.1. 设 $G$ 是群, 那么以下两个条件等价:

1.	存在正规子群链 $1=G_0⊲G_1⊲\cdots ⊲G_n=G$, 并且对所有 $1\le i\le n$, 子商 $G_i/G_{i-1}$ 交换.
2.	存在非负整数 $n\ge 0$, 使得群 $G$ 的 $n$ 阶导群 $G^{(n)}=1$

证明. 1 $\Rightarrow$ 2. 如果群 $G$ 有正规子群 $H$, 且商群 $G/H$ 交换, 那么 $G$ 的导群 $G^{\prime }$ 满足包含关系 $G^{\prime }\subset H$. 从而如果具有长度为 $n$ 的正规子群链, 那么取 $n$ 阶导群后必定有 $G^{(n)}=1$.

2 $\Rightarrow$ 1. 我们有正规子群链 $1=G^{(n)}⊲G^{(n-1)}⊲\cdots ⊲G^{(1)}⊲G$.

$\square$

定义 1.2 (可解群). 群 $G$ 称为可解群, 如果它满足上述两个等价条件.

2性质

命题 2.1 (对扩张封闭). 假如有群的短正合列 $1\to G_1\to G\to G_2\to 1$, 那么群 $G$ 可解当且仅当 $G_1$ 和 $G_2$ 都可解.

3例子

•	$p$-群和幂零群都可解.
•	假设有不可约有理系数多项式 $f\in \mathbb{Q}[x]$, 并记 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域为 $K$, 则 Galois 扩张 $K/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群 $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 可解当且仅当方程 $f(x)=0$ 根式可解.

4相关概念

术语翻译

可解群 • 英文 solvable group • 德文 auflösbare Gruppe • 法文 groupe résoluble