Jacobson 稠密性定理

Jacobson 稠密性定理指的是, 如一个模半单, 则环本身在环关于它的双中心化子当中稠密.

1陈述与证明

定理 1.1. $R$ 是环, $M$ 是半单左 $R$-模. 令 $R^{\prime }=R^{\prime }(M)={\mathrm{End}}_R(M)$, 即 $R$ 在 ${\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(M)$ 中的中心化子; 再令 $R^{\prime \prime }=R^{\prime \prime }(M)={\mathrm{End}}_{R^{\prime }}(M)$. 则对任意 $f\in R^{\prime \prime }$ 以及 $m_1,\dots ,m_n\in M$, 存在 $r\in R$, 使得 $f(m_i)=r{m}_i$, $i=1,\dots ,n$.

证明. 先证 $n=1$ 情形, 即只有一个元素 $m$. 由于 $M$ 半单, 子模 $Rm\subseteq M$ 为直和项, 故存在投影映射 $p\in {\mathrm{End}}_R(M)$, 即 $\mathrm{im}(p)=Rm$, $p{|}_{Rm}={\mathrm{id}}_{Rm}$. 现在 $f\in R^{\prime \prime }$, 故 $f\circ p=p\circ f$, $$f(m)=f(p(m))=p(f(m))\in Rm,$$于是存在 $r\in R$, $f(m)=rm$.

再将一般命题化归到 $n=1$ 情形. 一般情况下, 考虑$$m=\left(\begin{array}{c}{m}_1\\ ⋮\\ m_n\end{array}\right)\in M^n.$$利用 ${\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(M^n)={\mathrm{M}}_n({\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(M))$ 作矩阵具体计算, 不难发现 $R^{\prime }(M^n)$ 就是 ${\mathrm{M}}_n(R^{\prime })$, 而 $R^{\prime \prime }(M^n)$ 是元素在 $R^{\prime \prime }$ 中的标量矩阵, 等于 $R^{\prime \prime }$. 利用 $n=1$ 时结论, 存在 $r\in R$, $f(m)=rm$, 而这就是 $f(m_i)=r{m}_i$, $i=1,\dots ,n$.

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注 1.2. 按定理中的记号, 这里有自然同态 $R\to R^{\prime \prime }$. 如将 $R^{\prime \prime }$ 视为 $M^M$ 的子集, 赋予积拓扑, 定理就是在说该自然同态的像集稠密.

2推论

沿用定理中的记号.

推论 2.1. 如果 $M$ 作为 $R^{\prime }$-模有限生成, 定理推出 $R\to R^{\prime \prime }$ 是满射.

推论 2.2. $k$ 是域, $V$ 是 $k$ 上有限维线性空间, $R$ 是 ${\mathrm{End}}_k(V)$ 的半单子代数, 则 $R=R^{\prime \prime }$.

证明. 把定理中的模取为 $V$. 由于 $R$ 半单, $V$ 是半单左 $R$-模. 显然 $R^{\prime }$ 也是 $k$ 上代数, 故 $V$ 在 $R^{\prime }$ 上有限生成, 从而 $R\to R^{\prime \prime }$ 是满射; 依定义 $R$ 在 $V$ 上的作用忠实, 故它也是单射; 从而 $R=R^{\prime \prime }$.

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3相关概念

•	半单模
•	双中心化子定理
•	Artin–Wedderburn 定理

术语翻译

Jacobson 稠密性定理 • 英文 Jacobson density theorem • 德文 Dichtheitssatz von Jacobson • 法文 théorème de densité de Jacobson