双中心化子定理

设 $S$ 是环 $R$ 是子环, 考虑 $S$ 在 $R$ 中的中心化子$$C_R(S):=\{r\in R|rs=sr,\forall s\in S\}$$它是 $R$ 的子环. 双中心化子定理给出了 $C_R(C_R(S))=S$ 的充分条件.

1定理陈述

固定 $k$ 为一个代数闭域. 下面若不特殊标明, 张量积和直和均在 $k$ 代数或 $k$ 模的意义下定义.

定理 1.1. 设 $E$ 是有限维线性空间, $A$ 是 ${\mathrm{End}}_k(E)$ 的子代数. 令 $B={\mathrm{End}}_A(E)$ 是 $A$ 的中心化子. 假设 $A$ 是半单代数, 则

(1)	$A={\mathrm{End}}_B(E)$.
(2)	$B$ 是半单的.
(3)	作为 $A\otimes B$ 的表示, $E$ 具有直和分解 $⨁V_i\otimes W_i$, 其中 $V_i,W_i$ 分别跑遍 $A,B$ 的不可约表示.

注 1.2. 由于 $A,B$ 在 $E$ 上的作用可交换, 我们定义 $A\otimes B$ 在 $E$ 上的作用如下: $$(a\otimes b)\cdot v=a(bv).$$从而 $E$ 是 $A\otimes B$ 的表示.