Mittag-Leffler 模

Mittag-Leffler 模是一类特殊的模, 指其写成有限表现模的正向极限之后, 这些有限表现模余表出的函子构成的反向系 Mittag-Leffler.

1定义
2性质
3相关概念

1定义

定义 1.1. 设 $R$ 是环, $M$ 是 $R$ -左模. 称 $M$ Mittag-Leffler, 指如 $M = colim_{i \in I} M_{i}$ , 其中 $I$ 是正向集, 各 $M_{i}$ 是有限表现 $R$ -左模, 则对任意 $R$ -左模 $N$ , 反向系 $(Hom_{R} (M_{i}, N))_{i \in I^{op}}$ 是 Mittag-Leffler 系.

注 1.2. 由于每个模都能写成有限表现模的正向极限, 且不同的写法都共尾, 由 Mittag-Leffler 系的相关性质即知定义 1.1 不依赖于正向系 $(M_{i})_{i \in I}$ 的选取. 另见命题 2.1.

2性质

命题 2.1. 设 $R$ 是环, $(M_{i})_{i \in I}$ 是有限表现 $R$ -左模的正向系, $M = colim_{i \in I} M_{i}$ . 以下几条等价:

1.	$M$ 是 Mittag-Leffler 模.
2.	对任意有限表现 $R$ -左模 $P$ 以及映射 $f : P \to M$ , 存在有限表现 $R$ -左模 $Q$ 以及同态 $g : P \to Q$ , 使得对任意 $R$ -右模 $K$ 都有 $ker (K \otimes_{R} f) = ker (K \otimes_{R} g)$ .
3.	对任意 $i \in I$ , 存在 $k \geq i$ , 使得对任意 $R$ -右模 $K$ 都有 $ker (K \otimes_{R} M_{k} \to K \otimes_{R} M) = ker (K \otimes_{R} M_{k} \to K \otimes_{R} M_{j})$ .
4.	对任意 $i \in I$ , 存在 $k \geq i$ , 使得对任意 $j \geq i$ , $M_{i} \to M_{k}$ 穿过 $M_{i} \to M_{j}$ .

定理 2.2. 投射模都 Mittag-Leffler. 可数生成的平坦 Mittag-Leffler 模投射.

证明. 设 $R$ 是环. 显然 Mittag-Leffler 模的直和项仍是 Mittag-Leffler 模, 故欲证投射模 Mittag-Leffler, 只需证自由模 Mittag-Leffler. 考虑自由 $R$ -左模 $M = R^{\oplus J}$ . 令 $I$ 为 $J$ 的所有有限子集在包含偏序下构成的正向集, 并取正向系 $(M_{i})_{i \in I}$ 为 $M_{i} = R^{\oplus i}$ , 映射显然, 则 $M = colim_{i \in I} M_{i}$ . 用命题 2.1.4 即得 $M$ Mittag-Leffler; 这里甚至可取 $k = i$ , 因为对任意 $j \geq i$ , $M_{i} \to M_{j}$ 都是直和含入, 当然被 $id_{M_{i}}$ 穿过.

反过来设

M

是可数生成平坦

R

-左模. 则由平坦模的 Lazard 定理, 可写

M = colim_{i \in I} M_{i}

, 其中

I

是可数正向集, 各

M_{i}

是有限生成自由

R

-左模. 为证

M

投射, 取

R

-左模短正合列

0 \to A \to B \to C \to 0

来证明它作用

Hom_{R} (M, -)

之后仍然正合, 也即证明

0 \to i \in I^{op} lim Hom_{R} (M_{i}, A) \to i \in I^{op} lim Hom_{R} (M_{i}, B) \to i \in I^{op} lim Hom_{R} (M_{i}, C) \to 0

正合. 由于各

M_{i}

自由, 上列在取极限之前正合. 取极限总是左正合, 故只需证

lim_{i \in I^{op}} Hom_{R} (M_{i}, B) \to lim_{i \in I^{op}} Hom_{R} (M_{i}, C)

满射. 由 Mittag-Leffler 模的定义,

(Hom_{R} (M_{i}, A))_{i \in I^{op}}

是 Mittag-Leffler 系, 而

I

可数, 故由 Mittag-Leffler 系的性质即得欲证.

$□$

3相关概念

•	Mittag-Leffler 系
•	投射模

术语翻译

Mittag-Leffler 模 • 英文 Mittag-Leffler module

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Mittag-Leffler 模

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2性质

3相关概念