Mittag-Leffler 系

Mittag-Leffler 系是一种特殊的反向系. 简而言之, 说集合的反向系 $X:I^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是 Mittag-Leffler 系指的是对任意 $i\in I$, $X_i$ 的子集族 $(\mathrm{im}(X_j\to X_i){)}_{j\ge i}$ 最终稳定 (定义 1.1). 其主要好处在于可数的 Mittag-Leffler 系没有高阶导出极限 (定理 3.4).

1定义

定义 1.1. 设 $I$ 是正向集, $X:I^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是集合的反向系, 其中 $X$ 在 $i\in I$ 处的值记作 $X_i$. 称 $X$ 是 Mittag-Leffler 系, 或称 $X$ 满足 Mittag-Leffler 条件, 指的是对任意 $i\in I$, 存在 $k\ge i$, 使得对任意 $j\ge k$, $\mathrm{im}(X_j\to X_i)=\mathrm{im}(X_k\to X_i)$, 这里 $\mathrm{im}$ 表示像集. 称某种代数结构的反向系为 Mittag-Leffler 系, 指其忘成集合之后是 Mittag-Leffler 系.

注 1.2. 显然定义 1.1 可以推广到任何能定义 $\mathrm{im}$ 的范畴中, 不过其使用场合几乎总是集合范畴或意象.

2例子

例 2.1. 如 $I$ 有最大元, 则每个以 $I$ 为指标的反向系都是 Mittag-Leffler 系.

例 2.2. 有限集组成的反向系总是 Mittag-Leffler 系. 更一般地, 紧空间组成的反向系忘成集合之后总是 Mittag-Leffler 系.

例 2.3. 转移映射为满射的反向系总是 Mittag-Leffler 系.

例 2.4. 任取无限集 $S$、$T$, 令 $I$ 为 $S$ 的所有有限子集依包含偏序构成的正向集. 考虑反向系 $X:I^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$, 其中 $X_i$ 取为 $i\subset S$ 到 $T$ 的所有单射组成的集合. 则 $X$ 的转移映射都是满射, 特别地总是 Mittag-Leffler 系. 容易发现 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}X$ 为 $S$ 到 $T$ 的所有单射组成的集合. 特别地, 如 $|S|>|T|$, 则 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}X=\varnothing$. 由此可见可数条件在引理 3.2 和定理 3.4 中必不可少.

3性质

命题 3.1. 设 $f:I\to J$ 是正向集的共尾映射. 则 $Y:J^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是 Mittag-Leffler 系当且仅当 $Y\circ f:I^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是.

引理 3.2. 设 $I$ 是可数正向集, $Z:I^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是非空集的 Mittag-Leffler 系. 则 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}Z$ 也非空.

证明. 设 $I=\{i_0,i_1,\dots \}$. 归纳定义映射 $f:\mathbb{N}\to I$, 使得 $f(n)$ 大于等于 $f(0),f(1),\dots ,f(n-1),i_n$. 由正向集的定义, 这可以做到. 容易发现 $f$ 共尾. 于是由命题 3.1 可设 $I=\mathbb{N}$.

对 $i\in \mathbb{N}$, 以 $Z_i^{\prime }$ 记定义 1.1 中稳定下来的 $\mathrm{im}(Z_k\to Z_i)$, 即 $k$ 充分大时的这个像集. 对 $i\in \mathbb{N}$ 归纳选取 $z_i\in Z_i^{\prime }$ 使得 $z_i\mapsto z_{i-1}$. 由 $Z_i^{\prime }$ 的定义这可以做到. 容易发现选出的 $(z_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ 是 ${\lim }_{{\mathbb{N}}^{\mathrm{op}}}Z$ 中的元素, 故其非空.

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注 3.3. 上面的证明两次使用相依选择公理.

定理 3.4. 设 $I$ 是可数正向集, $X,Y:I^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是反向系, $\phi :X\to Y$ 是逐项满射. 设对任意 $y=(y_i{)}_{i\in I}\in {\lim }_{I^{\mathrm{op}}}Y$, 反向系 $({\phi }^{-1}(y_i){)}_{i\in I}$ 都是 Mittag-Leffler 系. 则 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}\phi :{\lim }_{I^{\mathrm{op}}}X\to {\lim }_{I^{\mathrm{op}}}Y$ 也是满射. 特别地, 如 $X$、$Y$ 是群或模的反向系, $\phi$ 是相应同态, $\ker (\phi )$ 是 Mittag-Leffler 系, 则 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}\phi$ 是满射.

证明. 定理本身是引理 3.2 的立即推论, 因为 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}{\phi }^{-1}(y_i)$ 中的元素就是 $y\in {\lim }_{I^{\mathrm{op}}}Y$ 在 ${\lim }_{I^{\mathrm{op}}}X$ 中的原像. 欲证 “特别地”, 只需注意 ${\phi }^{-1}(y_i)\subseteq X_i$ 是 $\ker ({\phi }_i)$-陪集, 而 $\mathrm{im}({\phi }^{-1}(y_j)\to {\phi }^{-1}(y_i))\subseteq X_i$ 是 $\mathrm{im}(\ker ({\phi }_j)\to \ker ({\phi }_i))$-陪集, 故只要 $\ker (\phi )$ 是 Mittag-Leffler 系, 每个 $({\phi }^{-1}(y_i){)}_{i\in I}$ 也就都是 Mittag-Leffler 系.

$\square$

4相关概念

•	$\mathrm{li}{\mathrm{m}}^1$
•	Mittag-Leffler 模

术语翻译

Mittag-Leffler 系 • 英文 Mittag-Leffler system

Mittag-Leffler 条件 • 英文 Mittag-Leffler condition