投射模

投射模是模范畴中的投射对象, 即使得函子 ${\mathrm{Hom}}_A(P,-)$ 正合的 $A$-模 $P$.

1定义

定义 1.1 (投射模). 对环 $A$, $A$-模 $P$ 称为投射模, 如果函子 ${\mathrm{Hom}}_A(P,-)$ 正合. 即对任意正合列 $0\to M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$, 有正合列$$0\to {\mathrm{Hom}}_A(P,M^{\prime })\to {\mathrm{Hom}}_A(P,M)\to {\mathrm{Hom}}_A(P,M^{\prime \prime })\to 0.$$

注 1.2. 由于对任意 $A$-模 $M$, 函子 ${\mathrm{Hom}}_A(M,-)$ 是左正合的, 因此投射模定义等价于此函子保持满射.

2性质

命题 2.1 (等价定义). 如下事实等价:

•	$P$ 是投射模.
•	$P$ 是自由模的直和项, 即存在自由模 $M$ 和模 $N$ 使得 $M=N\oplus P$.
•	任意满射 $p:M\to P$ 存在截面, 即存在 $i:P\to M$ 使得 $i\circ p=\mathrm{id}$.

命题 2.2 (足够投射对象). 对任意模 $M$, 存在投射模 $P$ 与满射 $P\to M$.

命题 2.3 (与自由模的关系). 自由模是投射模; 局部环上投射模是自由模, 一些特殊的环 (例如主理想整环, 域上多项式环) 上有限生成投射模是自由模.

命题 2.4 (与平坦模的关系). 投射模是平坦模; 有限表现平坦模与有限生成投射模二者等价.

证明. 由投射模是自由模的直和项, 有限生成投射模是有限自由模的直和项, 立得投射模平坦, 有限生成投射模有限表现. 下证有限表现平坦模投射. 设 $M$ 为有限表现平坦左 $A$-模, 即函子 $-{\otimes }_{A}M$ 正合. 以 ${-}^{\ast }$ 记 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, 则它忠实、正合, 故欲证 ${\mathrm{Hom}}_A(M,-)$ 正合, 只需证 ${\mathrm{Hom}}_A(M,-{)}^{\ast }$ 正合. 由于 ${-}^{\ast }$ 正合, $M$ 平坦, 又只需证 ${\mathrm{Hom}}_A(M,-{)}^{\ast }\cong {-}^{\ast }{\otimes }_{A}M$. 下证之.

右边到左边有自然映射 $f\otimes m\mapsto (g\mapsto f(g(m)))$, 需要证它是同构. 注意两边都关于 $M$ 右正合, 而由 $M$ 有限表现有右半正合列 $A^m\to A^n\to M\to 0$, 故只需证 $M=A^n$ 时它是同构. 此时两边都是 $({-}^{\ast }{)}^n$, 显然同构.

$\square$

命题 2.5 (与内射模的关系). 如 $A$ 是域 $k$ 上代数, $M$ 是 $A$ 模且是有限维 $k$-向量空间, 则 $M$ 是投射 $A$-模当且仅当 $M^{\ast }$ 是内射 $A^{\mathrm{op}}$-模, 反之亦然. (其中 $M^{\ast }={\mathrm{Hom}}_k(M,k)$).

定理 2.6 (交换环上的刻画). $A$ 是交换环, $M$ 是有限生成 $A$-模. 则 $M$ 投射当且仅当其在一个 Zariski 开覆盖上自由, 即存在 $a_1,\dots ,a_n\in A$, ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$, 使得 $M_{a_i}$ 是自由 $A_{a_i}$-模.

定理 2.7 (Kaplansky 结构定理). 投射模是可数生成投射模的直和. 可数生成模投射当且仅当其为平坦 Mittag-Leffler 模.

推论 2.8 (平坦下降). $A\to B$ 是交换环的忠实平坦同态, $M$ 是 $A$-模. 则 $M$ 是投射 $A$-模当且仅当 $M{\otimes }_{A}B$ 是投射 $B$-模.

3例子

•	自由模是投射模, 例如环 $A$ 本身是其上的投射模.
•	如 $e$ 是环 $A$ 上幂等元, 则 $Ae$ 是 $A$ 上投射模.

4相关概念

•	自由模
•	平坦模
•	内射模
•	投射包

术语翻译

投射模 • 英文 projective module • 德文 projektiver Modul • 法文 module projectif • 拉丁文 modulus projectivus • 古希腊文 προϊετικὸν πρότυπον