Mordell–Weil 定理

Mordell–Weil 定理是算术几何中的重要定理, 它指出 Abel 簇在固定数域上的有理点构成有限生成 (交换) 群.

1陈述

定理 1.1. 设 $K$ 是数域, $A/K$ 是 $K$ 上的 Abel 簇. 则 $A(K)$ 是有限生成群.

$A(K)$ 称作 $A$ 在 $K$ 上的 Mordell–Weil 群. 由主理想整环上有限生成模的结构定理, $A(K)$ 事实上是一个有限挠群和一个 ${\mathbb{Z}}^r$ 的直和, 这里 $r$ 是某非负整数, 称为该簇在 $K$ 上的 Mordell–Weil 秩 (或简称秩).

Poincaré 最先猜想了 $A$ 是椭圆曲线的情况. Mordell 在 1922 年证明了 $A$ 是椭圆曲线且 $K=\mathbb{Q}$ 的情况. André Weil 在 1928 年证明了一般情况.