Pauli 矩阵

Pauli 矩阵 (在相差一个虚数单位 $\mathrm{i}$ 的意义下) 是二维特殊酉群的 Lie 代数 $\mathrm{su}(2)$ 的三个生成元.

Pauli 矩阵在物理学中有广泛应用, 例如它可以表示自旋 $\frac{1}{2}$ 系统的旋转, 并构造 Dirac 矩阵.

1定义

定义 1.1. 三个 Pauli 矩阵通常被定义为: $$\begin{array}{rlrlr}{\sigma }_x={\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),& & {\sigma }_y={\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right),& & {\sigma }_z={\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).\end{array}$$

有时物理学家会用 4-矢量 $\sigma =(I_2,\mathbf{\sigma })$, 此时 ${\sigma }^0=I_2$, $\mathbf{\sigma }=({\sigma }^1,{\sigma }^2,{\sigma }^3)$, 指标写在上面表示协变性.

2性质

Pauli 矩阵通常被认为是 $\mathrm{su}(2)$ 的生成元. 注意在物理学家的记号中, Lie 代数和数学家的记号相差一个虚数单位, 而 Lie 代数到 Lie 群的指数映射一般写成$$\mathfrak{g}\to G;X\to \exp (\mathrm{i}X).$$

Pauli 矩阵都是迹为 $0$, 行列式为 $-1$ 的 Hermite 矩阵. 它们之间有 Lie 括号关系 $[{\sigma }_i,{\sigma }_j]={\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k$ 和反对易子 $\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}=2{\delta }_{ij}{I}_2$.

3应用

自旋为 $1/2$ 系统的角动量 (在 $s,m_s$ 表象下, 即 $|\pm ⟩$) 通常可用 Pauli 矩阵写作 $S_i=\hslash {\sigma }_i/2$, 这里 $\hslash$ 是 Plank 常量. 在该表象下, 绕单位矢量 $\hat{n}$ 旋转 $\theta$ 角度的算符可写成$$\exp \frac{S_i{\hat{n}}^i}{\mathrm{i}\hslash }=\exp \left(-\frac{i\theta {\hat{n}}^i{\sigma }_i}{2}\right)=I_2\cos \frac{\theta }{2}-\mathrm{i}{\sigma }_i{\hat{n}}^i\sin \frac{\theta }{2}.$$

Pauli 矩阵可以用于构造 Dirac 矩阵 ${\gamma }^{\mu }$ ($\mu =0,1,2,3$):$${\gamma }^{\mu }={\sigma }^2\otimes {\sigma }^{\mu }.$$

Pauli 矩阵可以用来表示四元数:$$\mathbb{H}\to M_{2\times 2}(\mathbb{C});x^0+x^1\mathrm{i}+x^2\mathrm{j}+x^3\mathrm{k}\mapsto x^0{I}_2+\mathrm{i}{x}^i{\sigma }_i.$$