四元数

四元数是形如$$a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$$的数, 其中 $a,b,c,d$ 是实数, 元素 $\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k}$ 满足$$\begin{array}{c}{\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2={\mathrm{k}}^2=-1,\\ \mathrm{ij}=-\mathrm{ji}=\mathrm{k},\\ \mathrm{jk}=-\mathrm{kj}=\mathrm{i},\\ \mathrm{ki}=-\mathrm{ik}=\mathrm{j}.\end{array}$$四元数的乘法不满足交换律, 但非零元素都有乘法逆元, 因此, 所有四元数构成一个除环, 它同时也是实数域上的中心单代数.

所有四元数的集合通常记为 $\mathbb{H}$.

1定义

定义 1.1 (四元数). 四元数环 $\mathbb{H}$ 是 $\mathbb{R}$-结合代数, 它作为 $\mathbb{R}$-向量空间是$${\mathbb{R}}^4=\mathbb{R}1\oplus \mathbb{R}\mathrm{i}\oplus \mathbb{R}\mathrm{j}\oplus \mathbb{R}\mathrm{k}$$其中, $1,\mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k}$ 是 $\mathbb{H}$ 中的四个元素, 满足 $1$ 为乘法单位元, $$\begin{array}{c}{\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2={\mathrm{k}}^2=-1,\\ \mathrm{ij}=-\mathrm{ji}=\mathrm{k},\\ \mathrm{jk}=-\mathrm{kj}=\mathrm{i},\\ \mathrm{ki}=-\mathrm{ik}=\mathrm{j}.\end{array}$$可以验证这唯一地给出了 $\mathbb{R}$-代数的结构. 这时 $\mathbb{H}$ 的元素称为四元数.

与复数一样, 也可以谈论四元数的范数和共轭.

定义 1.2 (范数). 四元数 $x=a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) 的范数或模是$$\Vert x\Vert =(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^{\frac{1}{2}}.$$

定义 1.3 (共轭). 四元数 $x=a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) 的共轭是$$x^{\ast }=\bar{x}=a-b\mathrm{i}-c\mathrm{j}-d\mathrm{k}.$$

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2性质

共轭与范数

正如在复数中, 一个元素乘它自己的共轭是它的范数的平方.

命题 2.1. 对任意 $x\in \mathbb{H}$, $x{x}^{\ast }=x^{\ast }x=\Vert x{\Vert }^2$.

从而对非零元素 $x$ 都有逆 $\frac{x^{\ast }}{\Vert x{\Vert }^2}$. 因此

命题 2.2. $\mathbb{H}$ 是除环.

不过在复数中共轭是自同构, 此时它是个反自同构.

命题 2.3. 对任意 $x,y\in \mathbb{H}$,

•	$(x^{\ast }{)}^{\ast }=x$.
•	$(x+y{)}^{\ast }=x^{\ast }+y^{\ast }$.
•	$(xy{)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast }$.

由此, 范数具有乘性.

推论 2.4. 对任意 $x,y\in \mathbb{H}$, $\Vert xy\Vert =\Vert yx\Vert =\Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

证明. $\Vert xy{\Vert }^2=(xy)(xy{)}^{\ast }=xy{y}^{\ast }{x}^{\ast }=x\Vert y{\Vert }^2{x}^{\ast }=\Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$.

$\square$

由范数的乘性, 我们知道 $\Vert \cdot \Vert$ 是一个从 $\mathbb{H}$ 的乘法群 ${\mathbb{H}}^{\times }$ 到 ${\mathbb{R}}^{+}$ 的群同态, 它的核是所有范数为 $1$ 的四元数, 可以记为 ${\mathbb{H}}_1$.

取出 $\mathbb{H}$ 中所有实部为 $0$ ($a=0$) 的四元数, 它们组成一个三维实线性子空间 ${\mathbb{H}}_{a=0}$. 由范数为 $1$ 的四元数 $q\in {\mathbb{H}}_1$ 可以诱导 ${\mathbb{H}}_{a=0}$ (作为三维实线性空间的) 旋转 ($x\mapsto qx{q}^{-1}$, $x\in {\mathbb{H}}_{a=0}$). 通过下面陈述的嵌入 $\mathbb{H}\to {\mathrm{M}}_2(\mathbb{C})$, 可以验证 ${\mathbb{H}}_1\cong \mathrm{SU}(2)$. 注意到 $\pm 1\in {\mathbb{H}}_1$ 诱导出的是同一个旋转, 这给出了 $\mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ 的二重复叠.

作为除环

如下命题说明在除环的意义下不能再拓展数系. 不过如果放弃结合律, 则仍可以继续扩展, 而得到八元数.

命题 2.5. 实数域 $\mathbb{R}$ 上的有限维中心单代数必为 ${\mathrm{M}}_n(\mathbb{R})$ 或 ${\mathrm{M}}_n(\mathbb{H})$. 这样 $\mathbb{H}$ 对应了 $\mathbb{R}$ 的 Brauer 群的唯一非平凡元素. 特别地, $\mathbb{R}$ 上有限维除环仅有 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$.

此外, 由于 $\mathbb{C}$ 上的中心单代数必然形如 ${\mathrm{M}}_n(\mathbb{C})$, 我们有如下结论:

命题 2.6. $\mathbb{H}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\simeq {\mathrm{M}}_2(\mathbb{C})$.

此同构也可以通过 Pauli 矩阵显式构造:

证明. 我们这样定义从 $\mathbb{H}$ 到 $M_2(\mathbb{C})$ 的单同态: $$A:a+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}\mapsto a+b\mathrm{i}{\sigma }_z+c\mathrm{i}{\sigma }_y+d\mathrm{i}{\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}a+b\mathrm{i}& c+d\mathrm{i}\\ -c+d\mathrm{i}& a-b\mathrm{i}\end{array}\right).$$(1)其中$$\begin{array}{rlrlr}{\sigma }_x=-\mathrm{i}A(\mathrm{k}),& & {\sigma }_y=-\mathrm{i}A(\mathrm{j}),& & {\sigma }_z=-\mathrm{i}A(\mathrm{i})\end{array}$$是 Pauli 矩阵, 满足性质 $\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}=2{\delta }_{ij}$, 而 $[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2\mathrm{i}{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k$. 由此可以验证它确实是同构.

$\square$

(...)

术语翻译

四元数 • 英文 quaternion • 德文 Quaternion (f) • 法文 quaternion (m) • 拉丁文 quaternio (m) • 古希腊文 τετράδιον (n)