Picard 定理

Picard 定理是常微分方程中描述局部解的存在唯一性的重要定理.

1Picard 定理

定理内容

定理 1.1. 对于一阶常微分方程$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y),$$(1)这里函数 $f$ 是矩形域 $R:\left|x-x_0\right|<a,\left|x-y_0\right|<b$ 上关于变量 $y$ 的 Lipschitz 连续函数, 即:

存在常数 $L>0$ , 使得在该矩形域上任意的 $(x,y_1)$, $(x,y_2)$ 都有不等式$$\left|f(x,y_1)-f(x,y_2)\right|⩽L\left|y_1-y_2\right|$$成立;

则该微分方程必有 $\left|x-x_0\right|\le h$ 上的唯一确定的解 $y=\phi (x)$, 且满足初值条件$$\phi (x_0)=y_0.$$(2)其中 $h=\min \left\{a,b/M\right\}$ , $M={\max }_{(x,y)\in R}\left|f(x,y)\right|$ .

Picard 定理的证明

第一步: 转化方程

由于我们尚且不知道右边函数 $f$ 的性质, 因此我们无法得知具体到每一点 “细致入微” 的逐点信息. 因此在证明时, 我们不再直接着眼于原微分方程, 而是寄希望于把函数在区间上的形态 “统而言之” 的积分方程, 即我们想找到如下积分方程的连续解: $$y=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y(t))\mathrm{d}t.$$(3)

命题 1.2. 若 $y=\phi (x)$ 是方程 1 在 $[x_0,x_0+h]$ 上的连续解, 且满足初值条件 $y_0=\phi (x_0)$ , 则它也是积分方程 3 的连续解, 反之亦然.

证明. (...)

$\square$

第二步: 构造序列

我们将微分方程转化为了积分方程, 规避了结构的不确定性, 但是这时想要直接通过积分方程找到解仍然很困难. (因为实际上函数 $f$ 没有变化.) 既然不能一步到位, 那我们可以沿用分析学的惯例, 使用逼近的方法, 从某一个连续函数 ${\phi }_0$ 出发, 逐步逼近我们想要的解.

到现在为止, 我们目前能够进行迭代的工具只有积分方程 3. 我们就从这个方程入手, 任取一个连续函数 ${\phi }_0(x)$ 代入方程右端的 $y$ , 可以得到新的函数$${\phi }_1(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,{\phi }_0(t))\mathrm{d}t;$$显然, 这个函数仍然是一个连续函数. 假使我们运气相当不错, 一开始的函数 $y={\phi }_0(x)$ 就是微 (积) 分方程的解, 那么必然有 ${\phi }_1(x)={\phi }_0(x)$ ; 否则我们可以继续去做这一步骤: $${\phi }_2(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,{\phi }_1(t))\mathrm{d}t;$$同样地, 我们可以再次判断. 就这样, 我们构建了一个迭代关系: $${\phi }_n(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,{\phi }_{n-1}(t))\mathrm{d}t,n=1,2,\dots$$这样我们就得到了一列函数 $\left\{{\phi }_n(x)\right\}$ . 我们希望最终无论如何, 这个函数序列都能逼近最终的解 $y=\phi (x)$ , (后面我们会证明这个函数序列是一致收敛的.) 即$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(x)=\phi (x).$$

命题 1.3. 构造迭代序列 (递推关系) 如下$$\{\begin{array}{l}{\phi }_0(x)=y_0,\\ {\phi }_n(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,{\phi }_{n-1}(t))\mathrm{d}t.\end{array}$$(4)其中 $x\in [x_0,x_0+h]$ , $n=1,2,\dots$.

则由上递推关系所得函数序列 $\left\{{\phi }_n(x)\right\}$ 有意义、连续且满足$$\left|{\phi }_n(x)-y_0\right|⩽b.$$

证明. (...)

$\square$

第三步: 证明收敛

我们对序列取极限时, 总希望下面的操作是可行的: $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(x)& =y_0+\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{x_0}^{x}f(t,{\phi }_{n-1}(t))\mathrm{d}t\\ & =y_0+{\int }_{x_0}^x\underset{n\to \infty }{\lim }f(t,{\phi }_{n-1}(t))\mathrm{d}t\\ & =y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_{n-1}(t))\mathrm{d}t.\end{array}$$

因此我们希望函数序列 $\left\{{\phi }_n(x)\right\}$ 最好是能一致收敛.

命题 1.4. 函数序列 $\left\{{\phi }_n\right\}$ 在 $[x_0,x_0+h]$ 上一致收敛到函数 $\phi$ .

证明. (...)

$\square$

第四步: 验证

进行逼近后, 我们需要验证这个极限就是原方程的解, 即不能 “跑过头”, 也不能 “差一点”.

命题 1.5. $\phi$ 是积分方程 3 在 $[x_0,x_0+h]$ 上的连续解.

证明. (...)

$\square$

至此, 我们就完成了存在性的论证.

第五步: 唯一性

通常来说涉及到作差相关的存在性, 我们会选择同一法来证明它对应的唯一性.

命题 1.6. 设 $\psi$ 是 $[x_0,x_0+h]$ 上的另一个连续解, 则在该区间上 $\phi =\psi$.

证明. (...)

$\square$

结合以上所有步骤, 我们得到定理 1.1 的证明.

相关结论

(...)

2Picard 迭代的应用

定义 2.1. 对于常微分方程初值问题 1, 2, 称由以下递推关系得到的函数列为 Picard 逼近序列: $$\{\begin{array}{l}{\phi }_0(x)=y_0,\\ {\phi }_n(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,{\phi }_{n-1}(t))\mathrm{d}t.\end{array}$$(5)由它确定的函数 ${\phi }_n(x)$ 称为 1, 2 的第 $n$ 次近似解.

近似解

例 2.2. (...)

误差估计

(...)

3相关概念

•	常微分方程
•	常微分方程初值问题
•	Lipschitz 连续函数
•	一致收敛函数列