分离变量法

求解常微分方程时, 分离变量法是一种初等的求解方法. 主要应用场景为以下特殊的一阶微分方程.

•	变量分离方程 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=f(x)g(y)$ ;
•	需要转化的情形: ∘ 齐次方程 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=f\left(y/x\right)$ ; ∘ $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=f\left(ax+by+c\right)$ ; ∘ $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$ ; ∘ ...

1最基本的情形

本节介绍分离变量法最为 “明显” 的应用场景.

方法

设函数 $f(x)$ , $g(y)$ 分别为 $x$ , $y$ 的连续函数, 我们称形如$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$$的常微分方程为变量分离方程. 方程左侧是 $y$ 关于 $x$ 的导数, 也即微商. 当 $g(y)\ne 0$ 时, 我们结合微分与微商的关系, 进行移项: $$\frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x.$$

可以看到, 方程的左、右两边变成了两个 “独立” 的微分. 因此我们只需要对两边同时积分: $$\int \frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y=\int f(x)\mathrm{d}x,$$就能求解原方程. 需要注意的是, 式中积分生成的常数 $c$ 必须使得方程有意义.

例子

例 1.1. 求解方程: $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy.$$

对应到我们在上一小节的例子, 可以知道 $f(x)=x$ , $g(x)=y$. 不过在进行变形之前, 我们需要注意不要漏掉特解. 在变量分离方程中, 这个特解就是 $g(y)=y=0$ 的平凡情形.

当 $g(y)=y=0$ 时, 把解 $y=0$ 代入方程验证发现等号成立, 于是它是原方程的一个特解.

再来考虑 $g(y)=y\ne 0$ 时, 先把它除过去的同时把 $\mathrm{d}x$ 乘过来: $$\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\mathrm{d}x;$$两边再同时积分: $$\ln |y|=\frac{1}{2}{x}^2+\bar{c}.$$

其中 $\bar{c}$ 是不定积分产生的常数. 再整理一下, 根据指数运算法则把 $\bar{c}$ 落下来就有: $$y=c\exp \left(\frac{1}{2}{x}^2\right).$$

其中 $c=\pm \exp \bar{c}$. 若允许 $c=0$ , 我们就可以用上式包含 $y=0$ 这个特解.

2结合变量代换的应用

现在我们需要着眼于那些不太 “显然” 的情况.

齐次方程

我们称形如$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$的方程为齐次微分方程, 其中 $f(u)$ 为关于 $u$ 的连续函数.

这一方程不能直接进行变量分离, 但是我们可以作变量代换 $u=y/x$ , 即 $y=ux$. 两边对 $x$ 求导有$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u.$$这样我们就可以把左边的微商项和 $y/x$ 换为 $u$ 相关的项了. 代入并整理可得$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{f(u)-u}{x}.$$这是一个变量分离方程. 对这个方程求解后还原变量即可得解.

例 2.1. 求解方程: $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}.$$

这个方程由于正切函数项, 无法直接变量分离. 我们可作变量变换 $u=y/x$ , 同时左边的微商项要变为$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u.$$代入原方程可得$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\tan u}{x}.$$是一个变量分离方程. 根据例 1.1 的过程, 当 $\tan u\ne 0$ 时, 分离变量得$$\cot u\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x},$$积分得到$$\ln \left|\sin u\right|=\ln \left|x\right|+\bar{c}$$其中 $\bar{c}$ 为任意常数, 再令 $c=\pm \exp \bar{c}$ , 得到隐式解$$\sin u=cx.$$再考虑 $\tan u=0$ 的情形: 此时必有 $\sin u=0$ , 因此允许 $c=0$ 即可包含此特解.

最后, 不要忘记还原变量, 即$$\sin \frac{y}{x}=cx.$$

“线性组合” 型

方程如其名. 设 $f(u)$ 为 $u$ 的连续函数, 本小节我们考虑形如$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(ax+by+c\right)$$的方程.

同样地, 我们可以作变量代换 $u=ax+by$ , 两边微分有$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$代入原方程, 可得$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a+bf(u).$$这是一个变量分离方程.

例 2.2. 求解方程: $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={\left(x+y\right)}^2.$$

这个方程含有交叉乘积项 $2xy$ , 因此做不到变量分离. 令 $u=x+y$ , 根据微分法则有$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},$$代入原方程即$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+u^2.$$

分离变量求解得到 $\arctan u=x+c$ , 其中 $c$ 为任意常数. 还原变量可得$$\arctan (x+y)=x+c.$$

“线性方程组” 型

设 $f(u)$ 为 $u$ 的连续函数, 本小节我们考虑形如$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$$的方程. 如此命名的原因是右侧含有神似方程组的项.

方便起见, 我们定义它对应的线性代数方程组 (为防止混淆, 本小节在叙述时会加粗以区分微分方程与代数方程.) $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0,\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0;\end{array}$$和如下的系数行列式: $$D=\det (\mathbf{D})=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|.$$

结合线性方程组理论, 我们可以首先排除 $c_1=c_2=0$ 的齐次 (平凡) 情形. 因为只需在原微分方程的分子分母同时除以 $x$ , 即可化为形如$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_1+b_1\frac{x}{y}}{a_2+b_2\frac{x}{y}}\right)$$的齐次微分方程.

现在我们只需对代数方程的系数行列式 $D$ 进行讨论:

(1)

$D\ne 0$ 的情形. 这种情况下, 代数方程具有唯一的解$$\{\begin{array}{l}x=\alpha ,\\ y=\beta .\end{array}$$此时想要把不齐次的代数方程化为齐次方程, 只需要作如下变换: $$\{\begin{array}{l}X=x-\alpha ,\\ Y=y-\beta ;\end{array}$$则可以将代数方程化为$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}X+b_{1}Y=0,\\ a_{2}X+b_{2}Y=0.\end{array}$$从而微分方程变为$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_1+b_1\frac{X}{Y}}{a_2+b_2\frac{X}{Y}}\right)=g\left(\frac{X}{Y}\right).$$它是一个齐次方程.

(2)

$D=0$ 的情形. 行列式 $D$ 的值为 $0$ 可以继续细分为以下三种子情形 i. $a_1=b_1=0$ 或 $a_2=b_2=0$ : 此时原微分方程变为$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)=g(a_{2}x+b_{2}y+c_2);$$或$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{c_2}\right)=g(a_{1}x+b_{1}y+c_1);$$这样的方程可以根据上一小节的方法求解. ii. $b_1=b_2=0$ 或 $a_1=a_2=0$ : 此时原微分方程变为$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_{1}x+c_1}{a_{2}x+c_2}\right);$$或$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{b_{1}y+c_1}{b_{2}y+c_2}\right);$$这些都是变量分离方程. iii. $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k$ : 此时令 $u=a_{2}x+b_{2}y$, 此时 $\mathrm{d}u=a_2\mathrm{d}x+b_2\mathrm{d}y$, 对等号右边也有$$f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)=f\left(\frac{k(a_{2}x+b_{2}y)+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)=f\left(\frac{ku+c_1}{u+c_2}\right)$$此时原微分方程变为$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a_2+b_{2}g(u).$$它是一个变量分离方程.

例 2.3. 解微分方程: $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x-y+1}{x+y-3}.$$

由上面的分析, 首先解它对应的代数方程$$\{\begin{array}{l}x-y+1=0,\\ x=y-3=0.\end{array}$$得到唯一解 $(x,y)=(1,2)$ , 再作代换$$\{\begin{array}{l}X=x-1,\\ Y=y-2.\end{array}$$由此, 原方程变为$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{X-Y}{X+Y}.$$这是一个齐次微分方程. 令 $Y=uX$ , 当 $1-2u-u^2\ne 0$ 时, 原方程化为$$\frac{\mathrm{d}X}{X}=\frac{1+u}{1-2u-u^2}\mathrm{d}u,$$积分可得$$\ln X^2=\ln \left|u^2+2u-1\right|+\bar{c}.$$还原即可得$$Y^2+2XY-X^2=c_1,$$即$$(y-2{)}^2+2(x-1)(y-2)-(x-1{)}^2=c_1.$$易验证当 $1-2u-u^2=0$ 时, 即$$Y^2+2XY-X^2=0$$也是原方程的一个解, 只需令 $c_1=0$ 即可. 因此方程的解为$$y^2+2xy-x^2-6y-2x=c.$$

乘积与商的情形

令 $u=xy$ , $v=\frac{y}{x}$ , 他们的微分分别为: $$\mathrm{d}u=x\mathrm{d}y+y\mathrm{d}x,\mathrm{d}v=\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2}.$$

它们可以处理含有乘积 $xy$ 和商 $x/y$ 的方程.

3相关概念

•	常微分方程
•	齐次常微分方程
•	线性常微分方程