Riemann–von Mangoldt 公式

约定. 在本文中,

• $s$ 表示以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数.

在解析数论中, Riemann–von Mangoldt 公式指以下结论:

$$N(T)=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+O(\log T)$$(1)

其中 $N(T)$ 表示 $\zeta (s)$ 在长方形区域 $0\le \Re (s)\le 1,0\le \Im (s)\le T$ 内的零点个数.

1历史

公式 (1) 最初亮相于 Riemann 在 1859 年发表的论文中 [Edw74, Appendix], 但他并没有证明. 直到十九世纪末这个结论才被 von Mangoldt 和 Backlund 严谨化.

2证明

参见: Riemann zeta 函数

基本关系式

不同于大多数教材中基于 $\xi (s)$ 的推导, 本文将直接以 $\zeta (s)$ 作为起点开始推导 $N(T)$ 的展开式. 根据 Schwarz 反演原理, 我们知道 $\zeta (s)$ 的零点关于实轴对称, 所以再结合幅角原理便有:

$$\begin{array}{rl}2N(T)& =1+\frac{1}{2\pi i}\left({\int }_{-1-iT}^{2-iT}+{\int }_{2-iT}^{2+iT}+{\int }_{2+iT}^{-1+iT}+{\int }_{-1+iT}^{-1-iT}\right)\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s\\ & =1+\underset{I(T)}{\underbrace{\frac{1}{2\pi i}\left({\int }_{\frac{1}{2}+iT}^{-1+iT}+{\int }_{-1+iT}^{-1-iT}+{\int }_{-1-iT}^{\frac{1}{2}-iT}\right)\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s}}+S(T)\end{array}$$

其中 $S(T)$ 的定义如下:

$$S(T)=\frac{1}{2\pi i}\left({\int }_{\frac{1}{2}-iT}^{2-iT}+{\int }_{2-iT}^{2+iT}+{\int }_{2+iT}^{\frac{1}{2}+iT}\right)\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s$$(2)

对于 $I(T)$, 设 $s\mapsto 1-s$, 则有:

$$I(T)=\frac{1}{2\pi i}\left({\int }_{\frac{1}{2}-iT}^{2-iT}+{\int }_{2-iT}^{2+iT}+{\int }_{2+iT}^{\frac{1}{2}+iT}\right)\left[-\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(1-s)\right]\mathrm{d}s$$(3)

根据 $\zeta (s)$ 的函数方程, 我们知道:

$$\zeta (1-s)=2(2\pi {)}^{-s}\cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (s)\zeta (s)$$

对两侧取对数导, 便有:

$$-\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(1-s)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left[-s\log 2\pi +\log \Gamma (s)+\log \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\right]+\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)$$(4)

现在将 (4) 代入到 (3) 中, 便有:

$$\begin{array}{rl}I(T)& =\frac{1}{2\pi i}{\left[-s\log 2\pi +\log \Gamma (s)+\log \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\right]}_{\frac{1}{2}-iT}^{\frac{1}{2}+iT}+S(T)\\ & =-\frac{T}{\pi }\log 2\pi +\frac{1}{\pi }\Im {\left[\log \Gamma (s)+\log \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\right]}_{s=\frac{1}{2}+iT}+S(T)+1\end{array}$$

其中最后出现 $+1$ 项是因为:

$$\frac{1}{2\pi i}\left({\int }_{\frac{1}{2}-iT}^{2-iT}+{\int }_{2-iT}^{2+iT}+{\int }_{2+iT}^{\frac{1}{2}+iT}-{\int }_{\frac{1}{2}-iT}^{\frac{1}{2}+iT}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\log \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{d}s=1$$

利用 Stirling 公式, 我们发现当 $s=\frac{1}{2}+iT$ 时有:

$$\begin{array}{rl}\log \Gamma \left(\frac{1}{2}+iT\right)& =iT\log (iT)-iT+\frac{1}{2}\log 2\pi +O\left(\frac{1}{T}\right)\\ & =i(T\log T-T)+\frac{1}{2}\log 2\pi -\frac{\pi T}{2}+O\left(\frac{1}{T}\right)\end{array}$$

对两侧取虚部, 便有:

$$\Im \log \Gamma \left(\frac{1}{2}+iT\right)=T\log T-T+O\left(\frac{1}{T}\right)$$(5)

另一方面, 利用余弦函数的性质, 可知当 $s=\frac{1}{2}+iT$ 时:

$$\begin{array}{rl}\log \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)& =-\log 2+\log (e^{\pi is/2}+e^{-\pi is/2})\\ & =-\log 2-\frac{\pi is}{2}+\log (1+e^{\pi is/2})\\ & =-\frac{\pi i}{4}+\frac{\pi T}{2}-\log 2+O(e^{-\pi T})\end{array}$$

将此结果与 (5) 代入到 $I(T)$ 中, 就有:

$$I(T)=\frac{T}{\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{\pi }+\frac{3}{4}+S(T)+O\left(\frac{1}{T}\right)$$

综上所述, 我们就得到了基本的关系式:

引理 2.1. 当 $T\ge 2$ 且不为 $\zeta (s)$ 的零点纵坐标时总有: $$N(T)=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+\frac{7}{8}+S(T)+O\left(\frac{1}{T}\right)$$

$S(T)$ 的上界估计

由于 ${\zeta }^{\prime }/\zeta (s)$ 的 Dirichlet 级数在 $\Re (s)=2$ 时绝对收敛, 所以:

$${\int }_{2-iT}^{2+iT}\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s=-i\sum _{n\ge 2}\frac{\Lambda (n)}{n^2}{\int }_{-T}^T{n}^{-it}\mathrm{d}t=O(1)$$

将此结果代入到 (2) 中, 便有:

$$S(T)=\frac{1}{\pi }\Im {\int }_{2+iT}^{\frac{1}{2}+iT}\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s+O(1)$$(6)

利用 ${\zeta }^{\prime }/\zeta (s)$ 的零点展开式可知当 $T$ 不是 $\zeta (s)$ 的零点纵坐标时:

$${\int }_{2+iT}^{\frac{1}{2}+iT}\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\mathrm{d}s=\sum _{|\rho -2-iT|\le 6}\underset{I(\rho )}{\underbrace{{\int }_{2+iT}^{\frac{1}{2}+iT}\frac{\mathrm{d}s}{s-\rho }}}+O(\log T)$$

根据幅角原理, 我们发现必然有 $|I(\rho )|\le \pi$. 由于当 $\sigma \ge -8$ 时总有 $\zeta (\sigma +iT)=O(T^{8.5})$, 所以根据 Jensen 公式可知:

$$\sum _{|\rho -2-iT|\le 6}1=O(\log T)$$

将此结果回代至 (6) 中, 就有:

$$S(T)=O(\log T)$$(7)

再将这个结论代入回引理 2.1 中, 就能得到 (1).

3相关概念

•	幅角原理
•	Jensen 公式
•	Riemann $\zeta$ 函数

参考文献

[Edw74]	Edwards, H. M. (1974). Riemann’s zeta function. Academic Press.
[TH86]	Titchmarsh, E. C., & Heath-Brown, D. R. (1986). The theory of the Riemann zeta-function (2nd ed). Oxford University Press.