解析数论

解析数论为数论中的分支, 它使用由数学分析中发展出的方法作为工具来解决数论中的问题. 一般人们认为解析数论的开端是 Dirichlet 于 1837 年引入 Dirichlet L 函数来首次证明 Dirichlet 同余类定理的时候. 解析数论中广为人知的成果包括在质数 (包括素数定理和 Riemann zeta 函数) 和加性数论 (例如 Goldbach 猜想和 Waring 问题) 方面的结论.

1历史

2问题和结论

解析数论的定理及成果通常不是有关整数精确结构的的结果——这方面用代数或是几何上的工具比较合适. 解析数论的定理一般会给出一些数论相关函数的范围与估计.

乘性数论

Euclid 证明了质数有无限多个, 而一个重要的问题是找到质数的渐近分布, 也就是可以大略描述有多少质数小于给定的整数. Gauß 在计算大量的质数后提出其猜想, 他认为小于或等于一个很大整数 $N$ 的质数个数, 接近以下的定积分: $${\int }_2^N\frac{dt}{\log t}.$$Riemann 在 1859 年利用复分析以及一个特殊的亚纯函数 (后来称为 Riemann zeta 函数) 来推导小于等于给定实数 $x$ 的质数个数的解析解. 值得一提的是, Riemann 公式的主要项就是上述的积分, 因此让 Gauß 的猜想更加重要. Riemann 找到了解析解中的误差项和 Riemann $\zeta$ 函数在复平面上的零点的密切关系, 因此质数分布的形式也和 Riemann $\zeta$ 函数的复零点有关. Hadamard 和 de la Vallée-Poussin 采用 Riemann 的想法, 通过对 $\zeta$ 函数零点分布的研究, 致力证明高斯的猜想. 如果记 $\pi (x)$ 为小于等于 $x$ 的质数个数, 那么他们证明了$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\log x}=1.$$(解析数论中, 通常记 $\log x$ 为底数为 $e$ 的自然对数. ) 上述的结果被称为质数定理, 是解析数论的核心结果. 简单地说, 质数定理意为给定一个大数字 $N$, 小于等于 $N$ 的质数个数大约有 $N/\log (N)$ 个.

更一般地, 人们同样可以对质数在等差数列中的分布提出相同的问题, 即对于$$\pi (x;a,q):=\{p\le x:p=an+q,n\in \mathbb{N}\}$$的估计, 其中 $(a,q)=1$. 作为解析数论最初的应用, Dirichlet 证明了当 $(a,q)=1$ 时, 等差数列 $\{an+q\}$ 中含有无穷多个质数. 质数定理可以被推广为$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pi (x;a,q)\varphi (q)}{x/\log x}=1,$$其中 $\varphi$ 为 Euler 函数.

另外, 数论中仍然有许多现有方法无法解决的猜想, 如孪生素数猜想等. 如果假设 Elliott–Halberstam 猜想是正确的, 那么人们证明了存在无穷多个质数 $p$ 使得某个 $p+k$ 也是质数, 其中 $k$ 是不大于 $12$ 的正偶数. 无条件地 (即若不假设任何猜想) , 人们已经证明存在无穷多个质数 $p$ 使得某个 $p+k$ 也是质数, 其中 $k$ 是不大于 $246$ 的正偶数.

加性数论

Diophantine 问题

3主要方法

Dirichlet 级数

(主条目: Dirichlet 级数)

Riemann zeta 函数

(主条目: Riemann zeta 函数)

4相关概念

Maier 矩阵法

自守 L 函数

自守形式

抽象解析数论

5参考资料和延伸阅读

术语翻译

解析数论 • 英文 analytic number theory • 德文 Analytische Zahlentheorie • 法文 théorie analytique des nombres