Leray–Serre 谱序列

Leray–Serre 谱序列是代数拓扑中的强大工具. 简单地说, 给定 Serre 纤维化 $F\to E\to B$, Leray–Serre 谱序列将全空间 $E$ 的 (上) 同调与底空间 $B$ 和纤维 $F$ 的 (上) 同调联系在了一起, 以便计算一些同调群.

上同调 Leray–Serre 谱序列可视为层论中 Grothendieck 谱序列的推论.

1定义

定义 1.1 (Leray–Serre 同调谱序列). 给定交换群 $G$ 以及 Serre 纤维化 $F\to E\to B$, 其中 $F$ 道路连通. 存在自然的第一象限同调谱序列 $\{E_{\ast ,\ast }^r,d^r\}$ 收敛于 $H_{\ast }(E;G)$. 此谱序列的第二页为$$E_{p,q}^2=H_p(B;{\mathcal{H}}_q(F;G)),$$其中 $H_p(B;{\mathcal{H}}_q(F;G))$ 为纤维化 $F\to E\to B$ 给出的局部系数同调. 特别地, 当 $B$ 单连通时, 它就是系数为 $H_q(F;G)$ 的奇异同调.

同样的, 我们有:

定义 1.2 (Leray–Serre 上同调谱序列). 给定交换群 $R$ 以及 Serre 纤维化 $F\to E\to B$, 其中 $F$ 道路连通. 存在自然的第一象限上同调谱序列 $\{E_r^{\ast ,\ast },d_r\}$ 收敛于 $H^{\ast }(E;R)$. 此谱序列的第二页为$$E_2^{p,q}=H^p(B;{\mathcal{H}}^q(F;R)),$$其中 $H^p(B;{\mathcal{H}}^q(F;R))$ 为纤维化 $F\hookrightarrow E\to B$ 给出的局部系数上同调. 特别地, 当 $B$ 单连通时, 它就是系数为 $H^q(F;G)$ 的奇异上同调. 当 $R$ 是环时, $E_r^{\ast ,\ast }$ 上有自然的乘法结构$$E_r^{p,q}\times E_r^{s,t}\to E_r^{p+s,q+t},$$在 $E_2^{\ast ,\ast }$ 上与杯积相差 $(-1{)}^{qs}$, 且以上收敛保持乘法结构. 当 $R$ 交换时此乘法结构交换.

2证明

用滤复形谱序列

取 $B$ 的 CW 逼近 $B^{\prime }\to B$, 并将纤维化拉回到 $B^{\prime }$, 得到 $F\to E^{\prime }\to B^{\prime }$. 由同伦群长正合列, $E^{\prime }\to E$ 和 $B^{\prime }\to B$ 一样是弱同伦等价, 诱导同调、上同调的同构. 于是以 $B^{\prime }$ 代 $B$, 可设 $B$ 为 CW 复形. 以 $B_p$ 记 $B$ 的 $p$ 维骨架, $E_p$ 记 $B_p$ 的原像, 约定 $p<0$ 时 $B_p=E_p=\varnothing$. 则奇异链复形 $C_{\bullet }(E;G)$ 带有上升滤链 $\{C_{\bullet }(E_p;G){\}}_{p\in \mathbb{Z}}$. 作出此滤复形的谱序列, 则其收敛到 $C_{\bullet }(E;G)$ 的同调 $H_{\bullet }(E;G)$, 且具有$$E_{p,q}^0=C_{p+q}(E_{p+1},E_p;G),$$$$E_{p,q}^1=H_{p+q}(E_{p+1},E_p;G)=C_p(B;{\mathcal{H}}_q(F;G)),$$$$E_{p,q}^2=H_p(B;{\mathcal{H}}_q(F;G)),$$其中 $E^1$ 那里的 $C_p$ 表示胞腔链群. 显然从第一页开始, 只在 $p,q\ge 0$ 时才有非零项.

用 Grothendieck 谱序列

3应用

一个经典的应用是计算 ${\pi }_4(S^3)$.

定理 3.1. ${\pi }_4(S^3)=\mathbb{Z}/2$. 从而球谱的一阶稳定同伦群 ${\pi }_1(\mathbb{S})$ 为 $\mathbb{Z}/2$.

证明. 取 $1\in H^3(S^3)$ 对应的映射 $S^3\to K(\mathbb{Z},3)$, 记其纤维为 $X$. 则由同伦群长正合列, ${\pi }_4(X)={\pi }_4(S^3)$, ${\pi }_{<4}(X)=0$. 于是由 Hurewicz 定理, ${\pi }_4(X)=H_4(X)$. 以下用 Serre 谱序列算 $X$ 的上同调, 再用万有系数定理得到同调.

需先算 $K(\mathbb{Z},3)$ 的上同调. 熟知 $K(\mathbb{Z},2)={\mathbb{CP}}^{\infty }$, 上同调环为 $\mathbb{Z}[c]$, $|c|=2$. 对纤维化 $K(\mathbb{Z},2)\to \ast \to K(\mathbb{Z},3)$ 用 Serre 谱序列有$$E_2=\begin{array}{ccccccc}⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ \mathbb{Z}{c}^2& 0& 0& H^3{c}^2& H^4{c}^2& H^5{c}^2& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ \mathbb{Z}c& 0& 0& H^{3}c& H^{4}c& H^{5}c& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ \mathbb{Z}& 0& 0& H^3& H^4& H^5& \cdots \end{array}\Rightarrow \mathbb{Z}$$图中 $H^p$ 表示 $H^p(K(\mathbb{Z},3))$, 由 Hurewicz 定理它从 $3$ 开始有. 由于它收敛到 $H^{\bullet }(\ast )=\mathbb{Z}$, 故只有左下角 $(0,0)$ 处的 $\mathbb{Z}$ 能留下来, 其他位置的群都会被边缘映射消掉. 由于 $q$ 为奇数时只有 $0$, $E_2$ 页的所有边缘映射都是 $0$, 故 $E_3$ 页和 $E_2$ 页相同. 而 $(0,2)$ 处的 $\mathbb{Z}c$ 和 $(3,0)$ 处的 $H^3(K(\mathbb{Z},3))$ 至迟在 $E_3$ 页就需要被消除, 因为之后再也不能有边缘映射. 所以 $d_3^{0,2}:\mathbb{Z}c\to H^3$ 是同构. 设 $c\mapsto b$, 则 $H^3=\mathbb{Z}b$, 知 $(3,2q)$ 处的群为 $\mathbb{Z}b{c}^q$. 现由 Leibniz 法则, $d_3(c^2)=2c{d}_{3}c=2bc$, 即映射 $d_3^{0,4}:\mathbb{Z}{c}^2\to \mathbb{Z}bc$ 为乘以 $2$; 注意 $(3,2)$ 和 $(6,0)$ 两个位置也至迟在 $E_3$ 页就需要被消除, 故 $0\to E_3^{0,4}\to E_3^{3,2}\to E_3^{6,0}\to 0$ 是短正合列, 即 $E_3^{6,0}=H^6=(\mathbb{Z}/2)b^2$. 由于 $E_4$ 页上 $(0,4)$ 位置已经是 $0$, $(4,0)$, $(5,0)$ 这两个位置的群不会再有非零边缘映射, 所以它们一开始就是 $0$, 即 $H^4=H^5=0$. 总结一下, 我们得到 $H^3=\mathbb{Z}b$, $H^4=H^5=0$, $H^6=(\mathbb{Z}/2)b^2$.

再对纤维化 $X\to S^3\to K(\mathbb{Z},3)$ 用 Serre 谱序列有$$E_2=\begin{array}{cccccccc}⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ H^5& 0& 0& H^{5}b& 0& ?& ?& \cdots \\ H^4& 0& 0& H^{4}b& 0& ?& ?& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ \mathbb{Z}& 0& 0& \mathbb{Z}b& 0& 0& (\mathbb{Z}/2)b^2& \cdots \end{array}\Rightarrow H^{\bullet }(S^3)$$图中 $H^q$ 表示 $H^q(X)$, $?$ 表示不关心. 由于 $H^{\bullet }(S^3)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}b$, $b\in H^3(S^3)$, 故只有 $(0,0)$ 处的 $\mathbb{Z}$ 和 $(3,0)$ 处的 $\mathbb{Z}b$ 能留下来, 其他位置都需被边缘映射消掉. 由此立得 $H^4=0$, $H^5=\mathbb{Z}/2$. 由万有系数定理, $H_4(X)=\mathbb{Z}/2$, 即 ${\pi }_4(S^3)=\mathbb{Z}/2$.

$\square$

术语翻译

Leray–Serre 谱序列 • 英文 Leray–Serre spectral sequence • 法文 suite spectrale de Leray–Serre