万有系数定理

万有系数定理描述了主理想整环上, 链复形的 (上) 同调和它与某个模的张量或同态后得到的链复形的 (上) 同调的关系. 特别地, 由于拓扑空间的 (上) 同调由某个链复形的 (上) 同调给出, 万有系数定理可以给出拓扑空间的不同系数的 (上) 同调的关系.

1定理与证明

定理 1.1 (同调万有系数定理). 设 $R$ 是主理想整环, $M$ 为 $R$-模, $C_{\bullet }$ 是一个由自由 $R$-模构成的链复形. 那么有典范 $R$-模短正合列$$0\to H_n(C_{\bullet }){\otimes }_{R}M\to H_n(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)\to {\mathrm{Tor}}_1^R(H_{n-1}(C_{\bullet }),M)\to 0$$且它有不典范的分裂.

证明. 设 $Z_n,B_n$ 分别为链复形 $C_{\bullet }$ 的 $n$-圈, $n$-边界. 由于 $R$ 是主理想整环, 任何自由 $R$-模的子模都是自由的. 因此, 短正合列$$0\to Z_n\to C_n\to B_{n-1}\to 0$$分裂. 将 $Z_{\bullet },B_{\bullet }$ 视作微分为 0 的链复形, 我们得到一个链复形的短正合列$$0\to Z_{\bullet }\to C_{\bullet }\to B_{\bullet }[-1]\to 0,$$其中每一行分裂. 因此, 将每一项与 $M$ 作张量积, 得到$$0\to Z_{\bullet }{\otimes }_{R}M\to C_{\bullet }{\otimes }_{R}M\to B_{\bullet }[-1]{\otimes }_{R}M\to 0$$每一行亦是分裂短正合列. 将其展开成长正合列$$\begin{array}{rl}\cdots \to & B_n{\otimes }_{R}M\stackrel{i_n\otimes 1}{\to }{Z}_n{\otimes }_{R}M\to H_n(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)\\ \to & B_{n-1}{\otimes }_{R}M\stackrel{i_{n-1}\otimes 1}{\to }{Z}_{n-1}{\otimes }_{R}M\to \dots \end{array}$$考察与 $H_n(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)$ 相邻的几项, 有分裂短正合序列$$\begin{array}{r}0\to \mathrm{coker}(i_n\otimes 1)\to H_n(B_{\bullet }{\otimes }_{R}M)\to \ker (i_{n-1}\otimes 1)\to 0.\end{array}$$因为 $B_n,Z_n$ 均是自由的, $$\mathrm{coker}(i_n\otimes 1)=\mathrm{coker}(i_n){\otimes }_{R}M=H_n(C_{\bullet }){\otimes }_{R}M.$$类似地, 由 $\mathrm{Tor}$ 函子的定义有 $\ker (i_{n-1}\otimes 1)={\mathrm{Tor}}_1^R(H_{n-1}(C_{\bullet }),M)$, 定理得证.

$\square$

定理 1.2 (上同调万有系数定理). 设 $R$ 是主理想整环, $M$ 为 $R$-模, $C_{\bullet }$ 是一个由自由 $R$-模构成的链复形. 那么有典范 $R$-模短正合列$$0\to {\mathrm{Ext}}_R^1(H_{n-1}(C_{\bullet }),M)\to H^n{\mathrm{Hom}}_R(C_{\bullet },M)\to {\mathrm{Hom}}_R(H_n(C_{\bullet }),M)\to 0$$且它有不典范的分裂.

注 1.3. 考虑将 ${\mathbb{RP}}^1$ 捏成一个点的映射 ${\mathbb{RP}}^2\to S^2$. 它诱导的映射 $H_2({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z})\to H_2(S^2;\mathbb{Z})$ 显然为零映射, 但 $H_2({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to H_2(S^2;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 为同构. 这说明定理给出的分裂不典范.

2推广

万有系数定理是谱序列的特殊情形.

3应用

该定理的一常见应用场景如下: 当已经得知某拓扑空间 $X$ 具有有限生成的 $\mathbb{Z}$-系数同调时, 就能使用 1.2 确定 $X$ 的 $\mathbb{Z}$-系数上同调. 记 $H_n(X;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^{{\beta }_n}\oplus T_n$, 其中 $T_n$ 是一个有限生成挠 $\mathbb{Z}$-模, 也就是一个有限 Abel 群. 那么 $H^n(X;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^{{\beta }_n}\oplus T_{n-1}$, 这是因为 $\mathrm{Ext}({\mathbb{Z}}^{\beta }\oplus T,\mathbb{Z})=T$ 恰是其挠部分. 所以直观地说, 整系数上同调相较下同调, 整体往高一位平移了挠的部分.

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4相关概念

术语翻译

万有系数定理 • 英文 universal coefficient theorem • 德文 universeller Koeffizientensatz • 法文 théorème des coefficients universels • 拉丁文 theorema de coefficientibus universalibus • 古希腊文 θεώρημα καθολικὼν συντελέστων