Hurewicz 定理

Hurewicz 定理是代数拓扑中的定理, 它联系了拓扑空间的同伦群与同调群.

1陈述与证明

定理 1.1 (Hurewicz). 对道路连通空间 $X$, 如同伦群 ${\pi }_i(X)=0$ 对 $i<n$ 成立, 则

•	$n=1$, 则同调群 $H_1(X)$ 为 ${\pi }_1(X)$ 的交换化.

•	$n>1$, 则 $H_n(X)={\pi }_n(X)$.

证明. 首先证明 $n=1$ 的情况

•	定义 Hurewicz 同态: 将环路 $f:S^1\to X$ 视为 1-链, 其同调类即为 $\Phi ([f])$. $$\Phi :{\pi }_1(X,x)\to H_1(X),[f]\mapsto [f_{\ast }(\gamma )]$$这里 $\gamma$ 是 $S^1$ 的生成元, $f_{\ast }$ 是同调中的诱导映射. 由于环路拼接对应链的加法, $\Phi$ 是群同态. 对于 $[f][g]\in {\pi }_1(X)$, 有: $$\Phi ([f][g])=\Phi ([f\ast g])=[(f\ast g{)}_{\ast }(\gamma )]=[f_{\ast }(\gamma )]+[g_{\ast }(\gamma )]\in H_1(X)$$因此 $\Phi ([f][g])=\Phi ([f])+\Phi ([g])$.
•	满射性: $H_1(X)$ 由 1-圈生成. 任意 1-圈可分解为环路之和 $\sum n_i{\sigma }_i\in Z_1(X)$, 每个 1-单形 ${\sigma }_i$ 可视为环路 (调整端点至基点) , 从而 $\sum n_i[{\sigma }_i]\in \text{Im}(\Phi )$.
•	显然, 换位子群包含于核: $[{\pi }_1,{\pi }_1]\subseteq \ker (\Phi )$. 若 $\Phi ([f])=0$, 则环路 $f$ 对应的 1-链是边界, 即存在 2-链 $\sum m_j{\tau }_j$ 使得 $\partial (\sum m_j{\tau }_j)=\Phi ([f])$. 通过分析 2-单形 ${\tau }_j$ 的边界, 可构造换位子 $[f_j]\in [{\pi }_1,{\pi }_1]$ 使得 $\Phi ([f_j])=\partial {\tau }_j$. 因此 $\ker \Phi =[{\pi }_1,{\pi }_1]$.
•	由同态基本定理, Hurewicz 同态 $\Phi$ 诱导同构: $${\pi }_1(X{)}^{ab}={\pi }_1(X)/\ker (\Phi )\cong \text{Im}(\Phi )=H_1(X)$$从而完成 $n=1$ 情况的证明.

$n>1$ 时, 对 $n$ 归纳, 考虑纤维化 $\Omega X\to PX\to X$, 它诱导了 Leray–Serre 谱序列$$E_{pq}^2=H_p(X,H_q(\Omega X,\mathbb{Z}))\Rightarrow H_{p+q}(PX,\mathbb{Z}).$$由于 $PX$ 可缩, $H_{p+q}$ 只有在 $p=q=0$ 时才不为 $0$.

注意到环路空间 $\Omega X$ 满足 $n-1$ 时的条件, 由归纳假设, 对 $0<q<n-1$, $E_{pq}^2=0$. 因此在谱序列中没有项可以和 $E_{p0}^2$, $0<p<n$ 抵消, 那么这些项就都是 $0$; 此外唯一可能和 $E_{n0}^2$ 抵消的项是 $E_{0,n-1}^2$, 因此$$H_n(X,\mathbb{Z})=H_{n-1}(\Omega X,\mathbb{Z})={\pi }_{n-1}(\Omega X)={\pi }_n(X).$$$\square$

2推论

推论 2.1. 对单连通空间 $X$, 其最低阶不为 $0$ 的同伦群和最低阶不为 $0$ 的同调群阶数相同, 且同构.

3推广

定理 3.1. 设 $X$ 为 $(n-1)$-连通的 CW 复形 ($n\ge 1$), 则:

•	当 $n>1$ 时, Hurewicz 同态 $h:{\pi }_{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ 是满射.
•	当 $n=1$ 时, 存在同构$$H_2(X)/h({\pi }_2(X))\cong H_2(K({\pi }_1(X),1)),$$其中 $K({\pi }_1(X),1)$ 是以 ${\pi }_1(X)$ 为基本群的 Eilenberg–MacLane 空间.

证明. 我们构造一个与 $X$ 相关的空间 $Y$, 其定义为将 $K({\pi }_n(X),n)$ 的所有 $(n+2)$-维胞腔附加到 $X$ 上. 由于 $X$ 是 $(n-1)$-连通的, 根据 Hurewicz 定理, ${\pi }_n(X)\cong H_n(X)$.

考虑相对同伦群与相对同调群的长正合序列, 以及 Hurewicz 同态的自然性, 得到以下交换图:

•	由于 $Y$ 和 $X$ 在 $(n+1)$-维以下胞腔结构相同, 相对链复形满足 $C_{n+1}(Y,X)=0$, 从而 $H_{n+1}(Y,X)=0$.
•	根据长正合序列: $$H_{n+2}(Y,X)\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n+1}(X)\to H_{n+1}(Y)\to 0,$$可得短正合序列: $$0\to \mathrm{Im}(\partial )\to H_{n+1}(X)\to H_{n+1}(Y)\to 0.$$我们需证明 $\mathrm{Im}(\partial )=\mathrm{Im}(h)$:
•	对任意相对圈 $c\in H_{n+2}(Y,X)$, 其边界 $\partial c\in H_{n+1}(X)$ 对应某个 $(n+2)$-胞腔的边界, 而该胞腔的附着映射由 ${\pi }_{n+1}(X)$ 中元素 $[f]$ 定义, 因此 $\partial c=h([f])$, 即 $\mathrm{Im}(\partial )\subseteq \mathrm{Im}(h)$.
•	反之, 对任意 $[f]\in {\pi }_{n+1}(X)$, 构造对应的 $(n+2)$-胞腔附加到 $X$ 上, 其对应的相对圈 $c$ 满足 $\partial c=h([f])$, 故 $\mathrm{Im}(h)\subseteq \mathrm{Im}(\partial )$.
•	因此 $\mathrm{Im}(\partial )=\mathrm{Im}(h)$, 进而有同构: $$H_{n+1}(X)/\mathrm{Im}(h)\cong H_{n+1}(Y).$$

接下来分析 $H_{n+1}(Y)$:

•	当 $n>1$ 时, 构造 $Y$ 时仅附加了 $(n+2)$-维胞腔, 由引理 3.2, $K({\pi }_n(X),n)$ 的 $n+1$ 维同调群为零, 故 $H_{n+1}(Y)=0$, 从而 $H_{n+1}(X)/\mathrm{Im}(h)=0$, 即 $h$ 是满射.
•	当 $n=1$ 时, $Y$ 的同调群 $H_2(Y)\cong H_2(K({\pi }_1(X),1))$, 因此有$$H_2(X)/h({\pi }_2(X))\cong H_2(K({\pi }_1(X),1)).$$

$\square$

引理 3.2. 设 $G$ 为群, $n>1$, Eilenberg–MacLane 空间 $K(G,n)$ 满足 $H_{n+1}(K(G,n);\mathbb{Z})=0$.

证明. 当 $n>1$ 时 Moore 空间 $M(G,n)$ 是单连通的 (${\pi }_1(M(G,n))=0$) . 根据 Hurewicz 定理, $M(G,n)$ 是 $(n-1)$-连通的, 则 $H_i(M(G,n))=0$ 对 $i<n$ 且$${\pi }_n(M(G,n))\cong H_n(M(G,n))\cong G.$$为从 $M(G,n)$ 构造 $K(G,n)$, 通过附加胞腔来逐步 “杀死” 高阶同伦群. 具体而言:

•	对每个生成元 $[f]\in {\pi }_{n+1}(M(G,n))$, 附加一个 $(n+2)$-胞腔, 使得 $f:S^{n+1}\to M(G,n)$ 可延拓到 $D^{n+2}$ 上, 从而在新建空间中 $[f]$ 变为零.
•	重复此过程, 依次处理 ${\pi }_{n+2},{\pi }_{n+3},\dots$, 最终得到空间 $K(G,n)$, 其同伦群仅剩 ${\pi }_n(K(G,n))\cong G$.

附加 $k$-胞腔 ($k\ge n+2$) 仅影响同调群 $H_{k-1}$ 和 $H_k$, 而对 $H_{n+1}$ 无影响. 由构造可知, $K(G,n)$ 的同调群满足: $$H_{n+1}(K(G,n);\mathbb{Z})\cong H_{n+1}(M(G,n);\mathbb{Z})=0.$$

$\square$

4参考文献

这里呈现的 $n>1$ 情形的证明可以在以下教材中找到.

•	Raoul Bott, Loring Tu (1982). Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics 82. Springer.

5相关概念

术语翻译

Hurewicz 定理 • 英文 Hurewicz theorem • 德文 Satz von Hurewicz • 法文 théorème de Hurewicz