Hurewicz 定理

Hurewicz 定理是代数拓扑中的定理, 它联系了拓扑空间的同伦群与同调群.

1陈述与证明

定理 1.1 (Hurewicz). 对道路连通空间 $X$, 如同伦群 ${\pi }_i(X)=0$ 对 $i<n$ 成立, 则

•	$n=1$, 则同调群 $H_1(X)$ 为 ${\pi }_1(X)$ 的交换化.

•	$n>1$, 则 $H_n(X)={\pi }_n(X)$.

证明. 首先证明 $n=1$ 的情况

•	定义 Hurewicz 同态: 将环路 $f:S^1\to X$ 视为 1-链, 其同调类即为 $\Phi ([f])$. $$\Phi :{\pi }_1(X,x)\to H_1(X),[f]\mapsto [f_{\ast }(\gamma )]$$这里 $\gamma$ 是 $S^1$ 的生成元, $f_{\ast }$ 是同调中的诱导映射. 由于环路拼接对应链的加法, $\Phi$ 是群同态. 对于 $[f][g]\in {\pi }_1(X)$, 有: $$\Phi ([f][g])=\Phi ([f\ast g])=[f\ast g]=[f]+[g]\in H_1(X)$$因此 $\Phi ([f][g])=\Phi ([f])+\Phi ([g])$.
•	满射性: $H_1(X)$ 由 1-闭链生成. 通过分解为环路组合, 任意 1-闭链可表示为 $\sum n_i{\sigma }_i\in Z_1(X)$, 每个 1-单形 ${\sigma }_i$ 可视为环路 (调整端点至基点) , 从而 $\sum n_i[{\sigma }_i]\in \text{Im}(\Phi )$.
•	显然, 换位子群包含于核: $[{\pi }_1,{\pi }_1]\subseteq \ker (\Phi )$. 若 $\Phi ([f])=0$, 则环路 $f$ 对应的 1-链是边界, 即存在 2-链 $\sum m_j{\tau }_j$ 使得 $\partial (\sum m_j{\tau }_j)=\Phi ([f])$. 通过分析 2-单形 ${\tau }_j$ 的边界, 可构造换位子 $[f_j]\in [{\pi }_1,{\pi }_1]$ 使得 $\Phi ([f_j])=\partial {\tau }_j$. 因此 $\ker \Phi =[{\pi }_1,{\pi }_1]$.
•	由同态基本定理, Hurewicz 同态 $\Phi$ 诱导同构: $${\pi }_1(X{)}^{ab}={\pi }_1(X)/\ker (\Phi )\cong \text{Im}(\Phi )=H_1(X)$$从而完成 $n=1$ 情况的证明.

$n>1$ 时, 对 $n$ 归纳, 考虑纤维化 $\Omega X\to PX\to X$, 它诱导了 Leray–Serre 谱序列$$E_{pq}^2=H_p(X,H_q(\Omega X,\mathbb{Z}))\Rightarrow H_{p+q}(PX,\mathbb{Z}).$$由于 $PX$ 可缩, $H_{p+q}$ 只有在 $p=q=0$ 时才不为 $0$.

注意到环路空间 $\Omega X$ 满足 $n-1$ 时的条件, 由归纳假设, 对 $0<q<n-1$, $E_{pq}^2=0$. 因此在谱序列中没有项可以和 $E_{p0}^2$, $0<p<n$ 抵消, 那么这些项就都是 $0$; 此外唯一可能和 $E_{n0}^2$ 抵消的项是 $E_{0,n-1}^2$, 因此$$H_n(X,\mathbb{Z})=H_{n-1}(\Omega X,\mathbb{Z})={\pi }_{n-1}(\Omega X)={\pi }_n(X).$$$\square$

2推论

推论 2.1. 对单连通空间 $X$, 其最低阶不为 $0$ 的同伦群和最低阶不为 $0$ 的同调群阶数相同, 且同构.

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3相关概念

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参考文献

这里呈现的 $n>1$ 情形的证明可以在以下教材中找到.

•	Raoul Bott, Loring Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 82. Springer.

术语翻译

Hurewicz 定理 • 英文 Hurewicz theorem • 德文 Satz von Hurewicz • 法文 théorème de Hurewicz