Hurewicz 定理
Hurewicz 定理是代数拓扑中的定理, 它联系了拓扑空间的同伦群与同调群.
1陈述与证明
证明. 首先证明 的情况
• | 定义 Hurewicz 同态: 将环路 视为 1-链, 其同调类即为 . 这里 是 的生成元, 是同调中的诱导映射. 由于环路拼接对应链的加法, 是群同态. 对于 , 有: 因此 . |
• | 满射性: 由 1-圈生成. 任意 1-圈可分解为环路之和 , 每个 1-单形 可视为环路 (调整端点至基点) , 从而 . |
• | 显然, 换位子群包含于核: . 若 , 则环路 对应的 1-链是边界, 即存在 2-链 使得 . 通过分析 2-单形 的边界, 可构造换位子 使得 . 因此 . |
• | 由同态基本定理, Hurewicz 同态 诱导同构: 从而完成 情况的证明. |
时, 对 归纳, 考虑纤维化 , 它诱导了 Leray–Serre 谱序列由于 可缩, 只有在 时才不为 .
注意到环路空间 满足 时的条件, 由归纳假设, 对 , . 因此在谱序列中没有项可以和 , 抵消, 那么这些项就都是 ; 此外唯一可能和 抵消的项是 , 因此
2推论
推论 2.1. 对单连通空间 , 其最低阶不为 的同伦群和最低阶不为 的同调群阶数相同, 且同构.
3推广
定理 3.1. 设 为 -连通的 CW 复形 (), 则:
• | 当 时, Hurewicz 同态 是满射. |
• | 当 时, 存在同构其中 是以 为基本群的 Eilenberg–MacLane 空间. |
证明. 我们构造一个与 相关的空间 , 其定义为将 的所有 -维胞腔附加到 上. 由于 是 -连通的, 根据 Hurewicz 定理, .
考虑相对同伦群与相对同调群的长正合序列, 以及 Hurewicz 同态的自然性, 得到以下交换图:
• | 由于 和 在 -维以下胞腔结构相同, 相对链复形满足 , 从而 . |
• | 根据长正合序列: 可得短正合序列: 我们需证明 : |
• | 对任意相对圈 , 其边界 对应某个 -胞腔的边界, 而该胞腔的附着映射由 中元素 定义, 因此 , 即 . |
• | 反之, 对任意 , 构造对应的 -胞腔附加到 上, 其对应的相对圈 满足 , 故 . |
• | 因此 , 进而有同构: |
接下来分析 :
• | 当 时, 构造 时仅附加了 -维胞腔, 由引理 3.2, 的 维同调群为零, 故 , 从而 , 即 是满射. |
• | 当 时, 的同调群 , 因此有 |
引理 3.2. 设 为群, , Eilenberg–MacLane 空间 满足 .
证明. 当 时 Moore 空间 是单连通的 () . 根据 Hurewicz 定理, 是 -连通的, 则 对 且为从 构造 , 通过附加胞腔来逐步 “杀死” 高阶同伦群. 具体而言:
• | 对每个生成元 , 附加一个 -胞腔, 使得 可延拓到 上, 从而在新建空间中 变为零. |
• | 重复此过程, 依次处理 , 最终得到空间 , 其同伦群仅剩 . |
4参考文献
这里呈现的 情形的证明可以在以下教材中找到.
• | Raoul Bott, Loring Tu (1982). Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics 82. Springer. |
5相关概念
术语翻译
Hurewicz 定理 • 英文 Hurewicz theorem • 德文 Satz von Hurewicz • 法文 théorème de Hurewicz