Hurewicz 定理

Hurewicz 定理代数拓扑中的定理, 它联系了拓扑空间的同伦群同调群.

1陈述与证明

定理 1.1 (Hurewicz).道路连通空间 , 如同伦群 成立, 则

, 则同调群 交换化.

, 则 .

证明. 首先证明 的情况

定义 Hurewicz 同态: 将环路 视为 1-链, 其同调类即为 . 这里 的生成元, 是同调中的诱导映射.

由于环路拼接对应链的加法, 是群同态. 对于 , 有: 因此 .

满射性: 由 1-圈生成. 任意 1-圈可分解为环路之和 , 每个 1-单形 可视为环路 (调整端点至基点) , 从而 .

显然, 换位子群包含于核: .

, 则环路 对应的 1-链是边界, 即存在 2-链 使得 . 通过分析 2-单形 的边界, 可构造换位子 使得 .

因此 .

由同态基本定理, Hurewicz 同态 诱导同构: 从而完成 情况的证明.

时, 对 归纳, 考虑纤维化 , 它诱导了 Leray–Serre 谱序列由于 可缩, 只有在 时才不为 .

注意到环路空间 满足 时的条件, 由归纳假设, 对 , . 因此在谱序列中没有项可以和 , 抵消, 那么这些项就都是 ; 此外唯一可能和 抵消的项是 , 因此

2推论

推论 2.1.单连通空间 , 其最低阶不为 的同伦群和最低阶不为 的同调群阶数相同, 且同构.

3推广

定理 3.1.-连通的 CW 复形 (), 则:

时, Hurewicz 同态 是满射.

时, 存在同构其中 是以 为基本群的 Eilenberg–MacLane 空间.

证明. 我们构造一个与 相关的空间 , 其定义为将 的所有 -维胞腔附加到 上. 由于 -连通的, 根据 Hurewicz 定理, .

考虑相对同伦群与相对同调群的长正合序列, 以及 Hurewicz 同态的自然性, 得到以下交换图:

由于 -维以下胞腔结构相同, 相对链复形满足 , 从而 .

根据长正合序列: 可得短正合序列: 我们需证明 :

对任意相对圈 , 其边界 对应某个 -胞腔的边界, 而该胞腔的附着映射由 中元素 定义, 因此 , 即 .

反之, 对任意 , 构造对应的 -胞腔附加到 上, 其对应的相对圈 满足 , 故 .

因此 , 进而有同构:

接下来分析 :

时, 构造 时仅附加了 -维胞腔, 由引理 3.2, 维同调群为零, 故 , 从而 , 即 是满射.

时, 的同调群 , 因此有

引理 3.2. 为群, , Eilenberg–MacLane 空间 满足 .

证明.Moore 空间 是单连通的 () . 根据 Hurewicz 定理, -连通的, 则 为从 构造 , 通过附加胞腔来逐步 “杀死” 高阶同伦群. 具体而言:

对每个生成元 , 附加一个 -胞腔, 使得 可延拓到 上, 从而在新建空间中 变为零.

重复此过程, 依次处理 , 最终得到空间 , 其同伦群仅剩 .

附加 -胞腔 () 仅影响同调群 , 而对 无影响. 由构造可知, 的同调群满足:

4参考文献

这里呈现的 情形的证明可以在以下教材中找到.

Raoul Bott, Loring Tu (1982). Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics 82. Springer.

5相关概念

术语翻译

Hurewicz 定理英文 Hurewicz theorem德文 Satz von Hurewicz法文 théorème de Hurewicz