Smith 标准型

Smith 标准型是线性代数中的一种构造. 它说明任何主理想整环上的 $m \times n$ 矩阵都可以通过行、列变换, 变成以下的 Smith 标准型: $⎝ ⎛ d_{1} ⋱ d_{r} 0_{(m - r) \times (n - r)} ⎠ ⎞,$ 其中每个 $d_{i}$ 都非零, 且满足整除关系 $d_{i} ∣ d_{i + 1}$ ( $1 \leq i \leq r - 1$ ) (定理 1.1). 这些元素称为该矩阵的不变因子. Smith 标准型的左上角 $i \times i$ 子式 $D_{i} = d_{1} \dots d_{i}$ 称为矩阵的行列式因子, 它也是原来矩阵的所有 $i \times i$ 子式的最大公因子 (定理 1.2).

Smith 标准型中的每个 $d_{i}$ 在相差一个可逆元的意义下是唯一的 (定理 1.2).

1定理和证明
2相关概念

1定理和证明

定理 1.1 (Smith 标准型). 设 $R$ 是主理想整环, $A$ 是 $R$ 上的 $m \times n$ 矩阵. 则存在 $R$ 上的可逆 $m \times m$ 矩阵 $P$ , 以及可逆 $n \times n$ 矩阵 $Q$ , 使得 $P A Q = ⎝ ⎛ d_{1} ⋱ d_{r} 0_{(m - r) \times (n - r)} ⎠ ⎞,$ 其中每个 $d_{i} \in R$ 都非零, 且满足整除关系 $d_{i} ∣ d_{i + 1}$ ( $1 \leq i \leq r - 1$ ).

如果 $R$ 还是一个 Euclid 整环, 那么 $P, Q$ 可以选成初等矩阵的乘积. 也就是说, 只需通过初等变换就能将 $A$ 化为 Smith 标准型.

证明. 如果 $A = 0$ , 我们无需做任何事, 它已经是 Smith 标准型了.

否则, 可以通过初等变换 (交换两行、交换两列) 使得 $A$ 的左上角元素不为 $0$ . 如果 $A$ 有多于一行, 那么我们用形如 $⎝ ⎛ s u t v 1 ⋱ 1 ⎠ ⎞$ 的 $m \times m$ 可逆矩阵来左乘, 其中 $s v - t u = 1$ , 可以将第一列第二行的元素变成 $0$ . 具体地说, 如果第一列第一、二行的元素分别为 $a$ 、 $b$ , 那么 Bézout 恒等式说明, 存在 $s, t \in R$ , 使得 $s a + t b = d,$ 其中 $d$ 是 $a, b$ 的一个最大公因子. 再取 $u = - \frac{b}{d}, v = \frac{a}{d},$ 则 $s v - t u = 1$ , 并且用上述矩阵左乘后, 左上角元素变成 $d$ , 而第一列第二行的元素变成了 $0$ .

使用同样的方法, 用适当的可逆矩阵左乘, 可以将第一列除第一行外所有元素都变成 $0$ . 类似地, 用适当的可逆矩阵右乘, 可以将第一行除第一列外所有元素都变成 $0$ .

现在, 我们已经找到了可逆矩阵 $P_{1}, Q_{1}$ , 使得 $P_{1} A Q_{1} = (d_{1}^{'} A_{1}),$ 其中 $d_{1}^{'} \in R$ 是 $A$ 的第一行、第一列所有元素的最大公因子, $A_{1}$ 是 $(m - 1) \times (n - 1)$ 矩阵.

接下来, 如果 $A_{1} \neq = 0$ , 我们可以对 $A_{1}$ 重复上面的操作, 找到可逆矩阵 $P_{2}, Q_{2}$ , 使得 $P_{2} A Q_{2} = ⎝ ⎛ d_{1}^{'} d_{2}^{'} A_{2} ⎠ ⎞,$ 其中 $A_{2}$ 是 $(m - 2) \times (n - 2)$ 矩阵.

如果 $d_{1}^{'} ∤ d_{2}^{'}$ , 我们就把第二列加到第一列上, 然后重复上述所有操作. 这样, $d_{1}^{'}$ 将变成 $d_{1}^{'}$ 与 $d_{2}^{'}$ 的最大公因子, 而 $d_{2}^{'}$ 将变成形如 $a_{1} d_{1}^{'} + a_{2} d_{2}^{'}$ 的元素, 其中 $a_{1}, a_{2} \in R$ . 因此, 操作完成后, 我们总是有 $d_{1}^{'} ∣ d_{2}^{'}$ .

如此下去, 我们最终能找到可逆矩阵 $P, Q$ , 使得 $P A Q = ⎝ ⎛ d_{1} ⋱ d_{r} 0_{(m - r) \times (n - r)} ⎠ ⎞,$ 并且 $d_{i} ∣ d_{i + 1}$ ( $1 \leq i \leq r - 1$ ). 这就是我们想要的 Smith 标准型.

最后, 如果

R

是 Euclid 整环, 那么将第一列除第一行外所有元素变成

0

的操作可以通过辗转相除法完成, 只需将某些行乘以倍数加到另一行, 而无需使用上述关于

s, t, u, v

的矩阵. 对于列变换也一样. 这就证明了最后的关于 Euclid 整环的论断.

$□$

定理 1.2 (唯一性). 定理 1.1 中的 $d_{1}, \dots, d_{r}$ 在允许用可逆元相乘的意义下是唯一的, 它们称为矩阵 $A$ 的不变因子.

并且, $D_{i} = d_{1} \dots d_{i}$ 是 $A$ 的所有 $i \times i$ 子式的最大公因子, 称为 $A$ 的行列式因子.

证明. 我们首先证明, 用可逆矩阵相乘不会改变行列式因子 (定义为 $i$ 阶子式的最大公因子).

对 $m \times n$ 矩阵 $A$ 而言, 如果 $P$ 是 $m \times m$ 矩阵, 那么矩阵 $P A$ 的行是 $A$ 的行的线性组合. 因此, $P A$ 的 $i$ 阶子式也是 $A$ 的 $i$ 阶子式的线性组合. 这说明 $A$ 的第 $i$ 个行列式因子能整除 $P A$ 的第 $i$ 个行列式因子. 如果 $P$ 可逆, 那么 $P A$ 的第 $i$ 个行列式因子也能整除 $P^{- 1} P A = A$ 的第 $i$ 个行列式因子. 这说明 $A$ 与 $P A$ 的第 $i$ 个行列式因子只相差 $R$ 中的一个可逆元.

对于右乘而言, 类似的论述也成立: 如果 $Q$ 是可逆 $n \times n$ 矩阵, 那么 $A$ 与 $A Q$ 的行列式因子只相差 $R$ 中的一个可逆元.

由定义,

D_{i}

是

A

的 Smith 标准型的行列式因子, 从而也是

A

的行列式因子, 因此由

A

唯一决定. 从而,

d_{i} = D_{i} / D_{i - 1}

也由

A

唯一决定.

$□$

2相关概念

•	初等矩阵
•	行阶梯矩阵、列阶梯矩阵
•	主理想整环上有限生成模的结构定理

术语翻译

Smith 标准型 • 英文 Smith normal form

不变因子 • 英文 invariant factor

行列式因子 • 英文 determinant factor

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