Euclid 整环

交换代数中, Euclid 整环是一类整环, 大致是指可以像在整数环中一样做带余除法的整环.

1定义

定义 1.1 (Euclid 整环).整环. 称 Euclid 整环, 是指其满足以下性质:

存在函数使得对任意 , 其中 , 都存在 , 使得 , 其中 或者 .

在上述定义中, 有时也称函数 为 Euclid 函数. 当我们说 是 Euclid 整环时, 只要求这样的函数存在, 而不要求指定一个具体的函数.

2例子

整数环 是 Euclid 整环. 对整数 , 可以取 , 而整数的带余除法说明其满足 Euclid 整环的定义.

上的一元多项式环 也是 Euclid 整环. 对多项式 , 可以取 , 即取多项式的次数. 一元多项式的带余除法说明其满足 Euclid 整环的定义.

3性质

基本性质

Euclid 整环是主理想整环; 证明见该文. 特别地, Euclid 整环是唯一分解整环

4相关概念

术语翻译

Euclid 整环英文 Euclidean domain