Stieltjes 常数

在数学分析中, Stieltjes 常数一般指由如下极限公式定义的一组实数:

$${\gamma }_m=\underset{N\to \infty }{\lim }\left\{\sum _{n\le N}\frac{{\log }^{m}n}{n}-{\int }_1^N\frac{{\log }^{m}x}{x}\mathrm{d}x\right\},$$

其中我们要求 $0^0=1$ 使得 ${\gamma }_0=\gamma$ 也适用于此定义.

1与 $\zeta (s)$ 的关系

利用 Euler–Maclaurin 公式可知:

$$S_m(x)=\sum _{n\le x}\frac{{\log }^{m}n}{n}={\int }_1^x\frac{{\log }^{m}t}{t}\mathrm{d}t+{\gamma }_m+O\left(\frac{{\log }^{m}x}{x}\right).$$

因此结合 Dirichlet 级数与系数部分和的关系, 可知 $\delta =\lambda +i\eta$ 时:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n\ge 1}\frac{{\log }^{m}n}{n^{1+\delta }}& ={\int }_1^{\infty }\frac{S_m(x)}{x^{1+\delta }}\mathrm{d}x=\frac{\delta }{m+1}{\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{m+1}x}{x^{1+\delta }}\mathrm{d}x\\ & +{\gamma }_m+O\left(|\delta |{\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{m}x}{x^{2+\lambda }}\mathrm{d}x\right)\end{array}$$

通过换元, 易知:

$${\int }_1^{\infty }\frac{{\log }^{m+1}x}{x^{1+\delta }}\mathrm{d}x={\int }_1^{\infty }{u}^{m+1}{e}^{-\delta u}\mathrm{d}u=\frac{(m+1)!}{{\delta }^{m+2}}$$

所以当 $\lambda >-1$ 时总有:

$$\sum _{n\ge 1}\frac{{\log }^{m}n}{n^{1+\delta }}=\frac{m!}{{\delta }^{m+1}}+{\gamma }_m+O(|\delta |)$$

结合 Riemann $\zeta$ 函数的定义, 我们发现上面的式子可以化为 $\zeta (s)$ 高阶导数的渐近展开:

$${\zeta }^{(m)}(1+\delta )=\frac{(-1{)}^{m}m!}{{\delta }^{m+1}}+(-1{)}^m{\gamma }_m+O(|\delta |)$$

利用这一性质, 我们就可以将 $\zeta (s)$ 解析延拓到 $\Re (s)>0$ 了:

定理 1.1. 当 ${\gamma }_m$ 表示 Stieltjes 常数时: $${\gamma }_m=(-1{)}^m\underset{s\to 1}{\lim }\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{s}^m}\left\{\zeta (s)-\frac{1}{s-1}\right\},$$$$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{m\ge 0}\frac{(-1{)}^m{\gamma }_m}{m!}(s-1{)}^m.$$