Toda 括号

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

Toda 括号是带点范畴中多个映射之复合同伦连贯地为 $0$ 的障碍, 准确地说是一个 $\partial {\Delta }^n$ 形状的图表延拓到 ${\Delta }^n$ 的障碍.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是带点范畴. 对整数 $n>1$ 以及 $\mathcal{C}$ 中 $n$ 个首尾相接的映射 $f_i:X_{i-1}\to X_i$, $i=1,\dots ,n$, 归纳定义 $\mathbf{n}$ 元 Toda 括号 $⟨f_1,\dots ,f_n⟩\in {\Omega }^{n-2}\mathrm{Hom}(X_0,X_n)$ 如下:

•	$n=2$ 时, 二元 Toda 括号 $⟨f_1,f_2⟩$ 即 $f_2\circ f_1\in \mathrm{Hom}(X_0,X_2)$. 考虑 $f_1:X_0\to X_1$, $0:X_0\to X_2$, $f_2:X_1\to X_2$ 给出的图表 $\partial {\Delta }^2\to \mathcal{C}$, 则 $⟨f_1,f_2⟩$ 的零伦给出它到 ${\Delta }^2$ 的延拓.
•	$n>2$ 时, 设对 $1\le i<j\le n$, $(i,j)\ne (1,n)$, $⟨f_i,f_{i+1},\dots ,f_j⟩$ 均已定义且都零伦. 则这些零伦给出图表 $\partial {\Delta }^n\to \mathcal{C}$ (把映射 $0\to n$ 打到零映射). 由于 ${\mathrm{Hom}}_{\partial {\Delta }^n}(0,n)=S^{n-2}$, 该图表给出 ${\Omega }^{n-2}\mathrm{Hom}(X_0,X_n)$ 中的点, 这就是 $n$ 元 Toda 括号 $⟨f_1,\dots ,f_n⟩$. 它的零伦给出上述图表到 ${\Delta }^n$ 的延拓.

术语翻译

Toda 括号 • 英文 Toda bracket