Ward 恒等式

Ward 恒等式是量子场论中的重要恒等式, 直观地说, 它表明了把场的对称性相应的守恒流作用于场的多点函数的结果.

一些文献会用 Ward 恒等式之名称呼这里的 Schwinger–Dyson 方程.

1陈述与证明

下面的叙述和证明中使用了路径积分, 因此是半严格的

定理 1.1 (Ward 恒等式). 设场 $\varphi$ 有一族连续对称性, 由$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =f_t(x)\\ {\varphi }^{\prime }& ={\mathcal{G}}_t(\varphi )\end{array}$$给出, 其中 $t$ 为此一族对称性的参数. 定义无穷小对称性为$$\mathcal{G}(\varphi )=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\mathcal{G}}_t(\varphi )-\varphi }{t}.$$则如相应的守恒流为 $j=j^{\mu }(\varphi )(x)$, 则$$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}⟨j^{\mu }(x)\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)⟩=\sum _{i=1}^n\delta (x-x_i)⟨\varphi (x_1)\cdots \mathcal{G}(\varphi )(x_i)\cdots \varphi (x_n)⟩.$$这里的导数是对 $x$ 取.

证明. 记 $X=\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)$ (注意: 我们这里所有的场乘积都是时序乘积), 则$$⟨X⟩=\int [d\varphi ]X{\mathrm{e}}^{-S(\varphi )}$$假设路径积分的测度 $[d\varphi ]$ 在变换$${\varphi }_t^{\prime }(x)=\varphi (x)+t\omega (x)\mathcal{G}(\varphi )(x)$$之下不变 (其中 $t$ 为参数, $\omega$ 为任意 “好的” 函数), 则由 Noether 定理有在一阶近似下$$⟨X⟩=\int [d{\varphi }^{\prime }]X{\mathrm{e}}^{-S({\varphi }^{\prime })}=\int [d\varphi ](X+\delta X){\mathrm{e}}^{-S(\varphi )+t\int dx{j}^{\mu }{\partial }_{\mu }\omega }$$其中$$\delta X=t\sum _{i=1}^n\varphi (x_1)\cdots \omega (x_i)\mathcal{G}(\varphi )(x_i)\cdots \varphi (x_n).$$因此比对 $⟨X⟩$ 的两种表达可得$$⟨\delta X⟩=-t\int dx({\partial }_{\mu }\omega )(⟨j^{\mu }X⟩)=t\int dx\omega {\partial }_{\mu }⟨j^{\mu }X⟩$$注意到 $\delta X$ 中$$\omega (x_i)\mathcal{G}(\varphi )(x_i)=\int dx\delta (x-x_i)\omega (x)\mathcal{G}(\varphi )(x_i)$$则由 $\omega$ 的任意性, 定理得证.

$\square$

注 1.2. 物理学家喜欢在无穷小对称性前面乘虚数单位 $\mathrm{i}$, 因此物理书中 Ward 恒等式经常与此处给出的恒等式差一个系数.

注 1.3. 对多个场的一族对称性, 同样有相应的恒等式, 这仅是个平凡的推广.

2应用

共形场论中

(...)

量子电动力学中

考虑量子电动力学, 作用量密度为$$-\mathrm{i}\mathcal{L}=\bar{\psi }(\mathrm{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }-e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu }-\frac{\lambda }{2}({\partial }_{\mu }{A}^{\mu }{)}^2$$

则它有整体规范对称性 $\psi \mapsto {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha }\psi$, 相应的守恒流为 $j^{\mu }=\mathrm{i}\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$.

考虑乘积 $X={\psi }_1(x_1)\cdots {\psi }_n(x_n){\bar{\psi }}_1(y_1)\cdots {\bar{\psi }}_n(y_n)$, 代入恒等式, 则有

$$\begin{array}{rl}& {\partial }_{\mu }⟨j^{\mu }(x){\psi }_1(x_1)\cdots {\psi }_n(x_n)\overline{{\psi }_1}(y_1)\cdots \overline{{\psi }_n}(y_n)⟩\\ =& -\mathrm{i}\sum _{i=1}^n(\delta (x-x_i)-\delta (x-y_i))⟨{\psi }_1(x_1)\cdots {\psi }_n(x_n)\overline{{\psi }_1}(y_1)\cdots \overline{{\psi }_n}(y_n)⟩\end{array}$$

取 $n=1$ (事实上对一般的 $n$ 也有类似结论, 只是叙述起来比较麻烦), 并分别对 $x,x_1,y_1$ 做 Fourier 变换, 即作用$$\int dx\int d{x}_1\int d{y}_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}q{x}_1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}p{x}_2}$$与其上, 等式成为: $$\begin{array}{rl}& (2\pi {)}^4\delta (q-p-k)\mathrm{i}{k}_{\mu }{\Gamma }^{\mu }(p+k,p)S(p+k)S(p)\\ & =(2\pi {)}^4\delta (q-p-k)(S(p+k)-S(p))\end{array}$$其中 ${\Gamma }^{\mu }$, $S$ 分别为不可约顶角和完全传播子. 即有

$$-\mathrm{i}{k}_{\mu }{\Gamma }^{\mu }(p+k,p)=S(p+k{)}^{-1}-S(p{)}^{-1}.$$

此结论在重整化理论中有重要应用, 称为 Ward–Takahashi 恒等式.

3相关概念

•	Noether 定理
•	Schwinger–Dyson 方程

术语翻译

Ward 恒等式 • 英文 Ward identity • 德文 Ward-Identität • 法文 identité de Ward