Whitehead 定理

Whitehead 定理是说, CW 复形之间的弱同伦等价一定是同伦等价.

1定理与证明

定理 1.1 (Whitehead). 设 $X,Y$ 为 CW 复形, $f:X\to Y$ 为弱同伦等价. 则 $f$ 为同伦等价.

证明.

1.

首先假设 $f$ 是子复形的含入映射. 考虑拓扑空间对 $(Y,X)$ 的同伦群长正合列, 可知对任何 $n$, 及任何 $x\in X$, 相对同伦群 ${\pi }_n(Y,X,x)=0$. 我们说明, 此时 $Y$ 能形变收缩到 $X$. 事实上, 我们可以在时间区间 $[1-1/2^k,1-1/2^{k+1}]$ $(k=0,1,2,\dots )$ 中, 将 $Y\setminus X$ 的所有 $k$-胞腔同伦到 $X$ 中, 并保持所有小于 $k$ 维的胞腔及 $X$ 不动. 这是因为, 这些 $k$-胞腔的边界已在上一个时间区间中移到了 $X$ 中, 从而条件 ${\pi }_k(Y,X)=0$ 说明该胞腔也可以移到 $X$ 中. 对于 $n>k$ 维的胞腔, 可以利用 $(D^n,S^{n-1})$ 的同伦延拓性质, 定义其在时间区间 $[1-1/2^k,1-1/2^{k+1}]$ 的移动方式. 这样, 我们就得到了 $Y$ 到 $X$ 的形变收缩, 从而 $f$ 是同伦等价.

2.

对一般情况, 由胞腔逼近, 不妨设 $f$ 是胞腔映射. 考虑 $f$ 的映射柱 $M_f$. 它能形变收缩到 $Y$, 并且 $X$ 能作为子复形嵌入 $M_f$, 使得复合映射 $X\hookrightarrow M_f\to Y$ 同伦于 $f$. 对映射 $X\hookrightarrow M_f$ 使用第 1 步论证即可. $\square$

定理 1.2 (同调版本的 Whitehead 定理). 设 $f:X\to Y$ 为单连通 CW 复形之间的连续映射. 若 $f$ 诱导了所有阶数的整系数同调群同构: $$f_{\ast }:H_n(X;\mathbb{Z})\stackrel{\cong }{⟶}{H}_n(Y;\mathbb{Z})(\forall n\ge 0),$$则 $f$ 为同伦等价.

证明. 由于 $X$ 与 $Y$ 均为单连通, 应用 Hurewicz 定理, $f_{\ast }:{\pi }_k(X)\to {\pi }_k(Y)$ 均为同构, 即为弱同伦等价. 应用原 Whitehead 定理即得 $f$ 为同伦等价.

$\square$

注 1.3. 当空间非单连通时, 上述结论未必成立. 例如, 考虑如下构造: 对任意 $n>1$, 定义空间 $X=\left(S^1\vee S^n\right)\cup e^{n+1}$, 其中 $(n+1)$-胞腔通过映射 $S^n\to S^1\vee S^n$ 附贴, 该映射对应元素 $2t-1\in {\pi }_n(S^1\vee S^n)\cong \mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ (此处 $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ 为自由循环群环, 生成元 $t$ 对应绕 $S^1$ 一圈的类) .

通过考察 $X$ 的万有覆叠空间可证, ${\pi }_n(X)\cong \mathbb{Z}[t,t^{-1}]/(2t-1)$, 其中理想 $(2t-1)$ 将 $2t$ 等同于单位元. 进一步, 令 $t=\frac{1}{2}$, 可将此商环嵌入 $\mathbb{Q}$ 为子环 $\mathbb{Z}[1/2]$ (即分母为 2 的幂的有理数集) . 特别地, ${\pi }_n(X)$ 包含非平凡挠元素, 而 ${\pi }_n(S^1)=0$, 故包含映射 $S^1\hookrightarrow X$ 在 ${\pi }_n$ 上不诱导同构.

另一方面, 利用同伦群长正合列对拓扑对 $(X,S^1)$ (其为 $(n-1)$-连通) 的分析, 可知包含映射在 $i<n$ 时诱导 ${\pi }_i$ 的同构. 此外, 通过胞腔同调计算可验证: 由于附贴映射 $S^n\to S^1\vee S^n$ 与坍缩映射 $S^1\vee S^n\to S^n$ 的复合度数为 $2-1=1$, 胞腔边界映射 $H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\to H_n(X^n,X^{n-1})$ 为同构, 从而包含映射在所有同调群上亦诱导同构.

此例表明, 即使映射在同调群及低维同伦群上均为同构, 若空间非单连通, 仍可能无法成为同伦等价.

术语翻译

Whitehead 定理 • 英文 Whitehead theorem • 德文 Satz von Whitehead • 法文 théorème de Whitehead