万有覆叠

在代数拓扑中, 拓扑空间 $X$ 的万有覆叠是指覆叠空间 $\tilde{X}\to X$, 它满足某种万有性质, 即 $X$ 的任何其它连通的覆叠空间都能被 $\tilde{X}$ 覆叠. 换言之, 万有覆叠是最大的连通覆叠空间.

万有覆叠总是单连通空间, 并且反过来也成立, 即单连通的覆叠空间一定是万有覆叠. 在覆叠空间的 Galois 对应下, 空间 $X$ 的连通覆叠空间对应基本群 ${\pi }_1(X)$ 的子群. 该对应可以通过万有覆叠给出: ${\pi }_1(X)$ 自然地作用于万有覆叠 $\tilde{X}$, 而 $\tilde{X}$ 关于 ${\pi }_1(X)$ 的每个子群的商空间就给出了该子群对应的覆叠空间.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是拓扑空间. 称覆叠空间 $\tilde{X}\to X$ 为万有覆叠, 如果 $\tilde{X}$ 是单连通空间.

2例子

•	映射 $\mathbb{R}\to S^1$, $t\mapsto {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}t}$ 是 $S^1$ 的万有覆叠. 它将直线 $\mathbb{R}$ 缠绕在圆周 $S^1$ 上无穷多次.

3性质

存在唯一性

定理 3.1. 设 $X$ 是道路连通、局部道路连通、半局部单连通的拓扑空间. 则 $X$ 具有万有覆叠 $\tilde{X}\to X$, 它在相差同构的意义下是唯一的.

4相关概念

术语翻译

万有覆叠 • 英文 universal cover • 德文 universelle Überlagerung (f) • 法文 revêtement universel (m) • 日文 普遍被覆 • 韩文 범피복 공간 (凡被覆空間)