亏格

不要把英文叫 genus 的对象都放进来, 除非它确实有 “洞” 的直观.

亏格是拓扑学、代数几何等数学领域中的概念, 它提供了几何对象的初步分类 (这也是亏格的西文名 “种类” 的来源).

中文 “亏格” 之名来自于几何直观: 曲面的亏格是它含有的 “环柄” 或 “洞” 的个数, 例如球面的亏格是 $0$, 环面的亏格是 $1$, 因为它有个 “洞”.

1拓扑学中的亏格

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2代数几何中的亏格

在代数几何中主要有两种模拟 “洞” 的个数的方法, 分别是算术亏格和几何亏格.

下面固定域 $k$ 上的维数 $r$ 紧合概形 $X$.

定义 2.1 (算术亏格). $X$ 的算术亏格是$$p_a(X)=(-1{)}^r(\chi ({\mathcal{O}}_X)-1),$$其中 $\chi$ 是 Euler 示性数$$\chi (\mathcal{E})=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{\dim }_k{H}^n(X,\mathcal{E}).$$

定义 2.2 (几何亏格). $X$ 的几何亏格是$${\dim }_k{H}^0(X,{\Omega }_{X/k}^r),$$其中 $\Omega$ 表示 Kähler 微分层.

在 $X$ 为一维且光滑时, 二者相等, 且 $k=\mathbb{C}$ 时, 此量与它对应的复流形的 (拓扑) 亏格也相等.

3图论中的亏格

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4例子

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5相关概念

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术语翻译

亏格 • 英文 genus • 德文 Geschlecht (n) • 法文 genre (m) • 拉丁文 genus (n) • 古希腊文 γένος (n)