代数几何

代数几何是数学的一个主要分支. 在经典意义下, 代数几何研究多项式的零点集, 即代数簇的几何性质. 在现代意义下, 代数几何研究一般的交换环所对应的空间, 例如概形的几何性质.

1简介

用最简短的话说, 代数几何使用多项式来研究几何学, 并利用几何学的工具反过来得到多项式的性质.

大多数人在中学里第一次接触代数几何的概念, 不过课本里把它叫做解析几何. 我们当时用形如 $y=kx+b$ 或 $x^2+y^2=r^2$ 的多项式方程, 来确定 $x$–$y$ 平面上的一条曲线. 前者确定了一条直线, 而后者确定一个圆周. 这就将代数与几何联系起来. 通过这种联系, 我们就能用代数的方法来解决几何问题, 也能用几何方法来解决代数问题. 这就是代数几何最基本的想法.

回到上面两条曲线的例子. 在 $x$–$y$ 平面上, 这两条曲线分别可以看作多项式 $y-kx-b$ 和 $x^2+y^2-r^2$ 的零点集. 我们暂且称这样的集合, 即多项式的零点集, 为代数集, 即代数的集合. 这样, 直线和圆周都可以被称为代数曲线. 我们进一步规定, 几个多项式的公共零点集也称为代数集. 这样, 三维空间中双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ 和平面 $x=y$ 所交出的曲线也是代数曲线.

以上讨论是在我们生活的空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中进行的. 在代数几何中, 我们能做的远远不止于基于 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的几何. 例如, 我们可以考虑 ${\mathbb{Q}}^n$ 中多项式的零点集, 这就等价于考虑相应多项式方程的有理数解. 这类问题在数论中处于核心地位, 例如, 著名的 Fermat 大定理等价于考虑多项式方程 $x^n+y^n=1$ 的有理数解, 即它在 ${\mathbb{Q}}^2$ 中的零点集. 代数几何的这一分支称为算术几何.

代数几何的基本研究对象是代数簇和概形. 代数簇是上文定义的代数集的推广, 它可以是一个代数集, 也可以由很多个代数集拼起来而得到, 正如流形可以由很多片 Euclid 空间拼起来而得到. 例如, 射影空间是代数簇, 但它不是任何仿射空间中的代数集. 射影空间是一类最重要的代数簇, 其几何具有非常好的性质.

概形是代数簇的推广, 是一类更一般的对象. 代数簇的理论考虑多项式环的性质, 而概形则将其推广到一般的交换环. 概形的语言使得很多概念, 例如相交重数, 具有更直接的描述; 概形中的一般点也是代数簇理论所不具有的工具.

代数几何在数学与其他学科中都具有广泛的应用. 例如, 算术几何即是代数几何在数论中的应用; 代数几何通过 GAGA 而与复几何关系密切; 代数几何也是数学物理 (特别是弦论) 中的重要工具. 另外, 代数几何也应用于统计学、控制论、编码论、运筹学等学科中.

2历史

本节需要扩充, 可以从维基百科翻译.

古希腊时期

对圆锥曲线的研究可视为代数几何的雏形.

文艺复兴与巴洛克时期

Descartes 和 Fermat 引入了坐标系的概念.

19 世纪与 20 世纪早期

射影空间被广泛研究.

意大利学派研究曲面的双有理等价类.

Hilbert 初次使用交换代数研究代数几何.

20 世纪

Weil 等人使用交换代数给代数几何以基石, 并严格化意大利学派的工作.

Grothendieck 与 Serre 引入概形语言与上同调理论以重构代数几何基础.

3分支

主要工具

•	概形论. ∘ 代数曲线论、代数曲面论等. ∘ Abel 簇、Fano 簇、环簇等.

•	层上同调理论. ∘ 这可推广为各种上同调理论, 包括平展上同调、晶体上同调、刚性上同调等.

•

Hodge 理论.

•	相交论. ∘ 周群、陈类.

•

形变论.

•

母题.

•

代数群论.

•

代数叠论.

研究领域

•	算术几何使用代数几何的手段研究数论, 即研究数域上代数簇的性质.

•	双有理几何的目标是分类代数簇的双有理等价类.

•	计数几何研究代数几何中的计数问题, 及模空间的性质.

•	复代数几何研究 $\mathbb{C}$ 上代数簇的几何, 有时使用复几何中的解析方法.

•	$\mathbf{p}$ 进几何.

•

热带几何.

•

导出代数几何.

•	代数几何的应用. ∘ 代数统计学.

4相关学科

•	交换代数
•	复几何
•	数论

术语翻译

代数几何 • 英文 algebraic geometry • 德文 algebraische Geometrie (f) • 法文 géométrie algébrique (f) • 拉丁文 geometria algebraica (f) • 古希腊文 μεταριθμικὴ γεωμετρία (f)