交叉模

交叉模是 $2$-群的一种表现形式.

1定义

定义 1.1. 交叉模指如下数据:

•	群同态 $d:H\to G$;
•	群 $G$ 在群 $H$ 上的作用 ${}^{(-)}(-):G\times H\to H$, 使得: ∘ $d$ 关于 $G$ 的共轭作用是 $G$-等变同态, 即对 $x\in G$, $a\in H$, $d({}^{x}a)=xd(a)x^{-1}$; ∘ 它沿 $d$ 限制在 $H$ 上之后是 $H$ 的共轭作用, 即对 $a,b\in H$, ${}^{d(b)}a=ba{b}^{-1}$;

交叉模之间的同态是保持这些结构的映射. 说一个交叉模同态是拟同构, 意思是它诱导 $\ker (d)$ 和 $\mathrm{coker}(d)$ 的同构.

2性质

给定交叉模 $d:H\to G$, 可作幺半范畴 $[G/H]$ 如下:

•	取对象集为 $G$.
•	对 $x,y\in G$, 定义 $\mathrm{Hom}(x,y)=\{a\in H\mid d(a)x=y\}$, 态射复合为 $H$ 的乘法.
•	幺半结构在对象上为 $G$ 中乘法, 在态射上为$$(a:x\to y)\otimes z=a:xz\to yz,$$$$z\otimes (a:x\to y)={}^{z}a:zx\to zy.$$这构成 $2$-群.

定理 2.1. 上述构造给出交叉模范畴到 $2$-群范畴的函子, 它是交叉模范畴关于拟同构的局部化. 换言之, $2$-群范畴自然等价于交叉模范畴关于拟同构的局部化.

3例子

•	设 $G$ 是约化群, $G^{\mathrm{sc}}$ 为其单连通部分, 即导群 $D(G)$ 的万有覆叠. 则 $G^{\mathrm{sc}}\to G$ 带交叉模结构, 因为 $G$ 可沿映射 $G\to G^{\mathrm{ad}}=(G^{\mathrm{sc}}{)}^{\mathrm{ad}}=\mathrm{Inn}(G^{\mathrm{sc}})$ 作用在 $G^{\mathrm{sc}}$ 上.

术语翻译

交叉模 • 英文 crossed module