局部化 (范畴论)

在范畴论中, 局部化是将范畴中的部分态射变得可逆, 而得到新范畴的操作, 类似于交换代数中环的局部化. 例如, 在拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 中, 若将所有同伦等价变得可逆, 得到的新范畴就是同伦拓扑空间范畴 $\mathsf{hTop}$.

局部化常常可以与高阶范畴联系起来. 具体地说, 范畴的局部化不仅可以视为普通范畴, 还可以视为高阶范畴, 该高阶范畴刻画了局部化所引入的同伦、高阶同伦的信息. 例如, 在 $\mathsf{Top}$ 中, 若将所有同伦等价变得可逆, 则可从此过程中得到拓扑空间之间映射的同伦的信息, 进而得到拓扑空间的 $(\infty ,1)$-范畴. 其对象为拓扑空间, $1$-态射为连续映射, $2$-态射为映射间的同伦, $3$-态射为同伦间的同伦, 如此等等.

1定义

对普通范畴

定义 1.1 (弱等价范畴). 弱等价范畴是指二元组 $(\mathcal{C},\mathsf{W})$, 其中

•	$\mathcal{C}$ 是范畴.

•	$\mathsf{W}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族态射构成的类.

并且, $\mathsf{W}$ 满足以下性质:

•	$\mathsf{W}$ 包含所有同构.

•	(三选二性质) 对 $\mathcal{C}$ 中任何交换图$$xzy\text{ ,}fg\circ fg$$若 $f,g,g\circ f$ 三者中有两者属于 $\mathsf{W}$, 则第三者也属于 $\mathsf{W}$.

定义 1.2 (局部化). 设 $(\mathcal{C},\mathsf{W})$ 是弱等价范畴 (定义 1.1). 范畴 $\mathcal{C}$ 关于 $\mathsf{W}$ 的局部化是指范畴 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 带有函子$$i:\mathcal{C}⟶\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}],$$它将 $\mathsf{W}$ 中所有态射都映到 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 中的同构, 并满足以下万有性质:

•	对任意范畴 $\mathcal{D}$, 及函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 若 $F$ 将 $\mathsf{W}$ 中所有态射都映到 $\mathcal{D}$ 中的同构, 则存在函子 $\tilde{F}:\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 使得以下图表在相差自然同构的意义下交换: $$\mathcal{C}\mathcal{D}\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\text{ .}iF\tilde{F}$$并且, 这样的 $\tilde{F}$ 在相差自然同构的意义下唯一.

不严格地说, 范畴的局部化总是存在. 唯一的问题是, 局部化可能会使态射集 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}](x,y)$ 成为真类, 而超过集合的大小. 但这不是重要的问题, 可以通过限制 $\mathcal{C}$ 的大小而解决.

对高阶范畴

高阶范畴也有局部化的概念. 并且, 若将普通范畴视为高阶范畴并局部化, 可以得到真正的高阶范畴, 而不总是普通范畴. 因此, 定义 1.2 中的局部化可以看成下述定义 1.4 中高阶范畴的影子.

定义 1.3 (弱等价 $(\infty ,1)$-范畴). 弱等价 $(\infty ,1)$-范畴是指二元组 $(\mathcal{C},\mathsf{W})$, 其中

•	$\mathcal{C}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴.

•	$\mathsf{W}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族 $1$-态射构成的类.

并且, $\mathsf{W}$ 满足以下性质:

•	$\mathsf{W}$ 包含所有同构, 即所有可逆 $1$-态射

•	(三选二性质) 对 $\mathcal{C}$ 中任何交换图$$xzy\text{ ,}fg\circ fg$$若 $f,g,g\circ f$ 三者中有两者属于 $\mathsf{W}$, 则第三者也属于 $\mathsf{W}$.

定义 1.4 (局部化). 设 $(\mathcal{C},\mathsf{W})$ 是弱等价 $(\infty ,1)$-范畴 (定义 1.3). 则 $\mathcal{C}$ 关于 $\mathsf{W}$ 的局部化是指 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 带有 $(\infty ,1)$-函子$$i:\mathcal{C}⟶\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}],$$它将 $\mathsf{W}$ 中所有 $1$-态射都映到 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 中的同构, 并满足以下万有性质:

•

对任意 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{D}$, 及 $(\infty ,1)$-函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 若 $F$ 将 $\mathsf{W}$ 中所有 $1$-态射都映到 $\mathcal{D}$ 中的同构, 则存在 $(\infty ,1)$-函子 $\tilde{F}:\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 使得以下图表交换: $$\mathcal{C}\mathcal{D}\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]\text{ .}iF\tilde{F}$$并且, 所有这样的 $\tilde{F}$ 构成的空间是可缩空间.

2例子

•	考虑弱等价范畴 $(\mathsf{Top},\mathsf{HE})$, 其中 $\mathsf{HE}$ 是所有同伦等价构成的类. 则 $\mathsf{Top}[{\mathsf{HE}}^{-1}]$ 等价于同伦拓扑空间范畴 $\mathsf{hTop}$.

•	考虑弱等价范畴 $(\mathsf{Top},\mathsf{WHE})$, 其中 $\mathsf{WHE}$ 是所有弱同伦等价构成的类. 则 $\mathsf{Top}[{\mathsf{WHE}}^{-1}]\simeq \mathsf{hCW}$.

•	对任何模型范畴 $(\mathcal{C},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib},\mathsf{W})$, 局部化 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$ 等价于其同伦范畴 $\mathrm{Ho}(\mathcal{C})$.

术语翻译

局部化 (动词) • 英文 localize • 德文 lokalisieren • 法文 localiser • 拉丁文 localizo • 古希腊文 ἑντοπίζω

局部化 (名词) • 英文 localization • 德文 Lokalisierung (f) • 法文 localisation (f) • 拉丁文 localizatio (f) • 古希腊文 ἑντοπισμός (m)