群

群是一种代数结构. 粗略地说, 群是带有乘法运算的集合, 并且这种乘法满足若干性质.

群结构描述对象的对称性. 例如:

•	几何对象的对称群就是所有保持该几何对象不变的变换所构成的群. 例如, 在狭义相对论中, 时空的对称群称为 Poincaré 群, 其上还有 Lie 群结构.

•	在代数学中, Galois 群描述了域扩张的对称性. Galois 理论致力于将群与域扩张建立对应, 以使用群论研究域.

1定义

群

定义 1.1 (群). 群是四元组 $(G,e,m,i)$ , 其中

•	$G$ 是集合. $e\in G$ 是一个元素, 称为单位元.

•	$m:G\times G\to G$ 是 $G$ 上的二元运算, 一般记为 $(a,b)\mapsto ab$ 或 $a\cdot b$, 称为乘法.

•	$i:G\to G$ 是 $G$ 上的一元运算, 一般记为 $a\mapsto a^{-1}$ , 称为逆.

它们满足以下条件:

•	(结合律) 对任意 $a,b,c\in G$, 有$$(ab)c=a(bc),$$从而这个结果可以无歧义地记成 $abc$.

•	(单位律) 对任意 $a\in G$, 有$$ea=a=ae,$$其中 $e$ 是 $G$ 的单位元.

•	(逆元) 对任意 $a\in G$, 有$$a{a}^{-1}=e=a^{-1}a,$$其中 $e$ 是 $G$ 的单位元.

在不引起歧义的情况下, 一般将此四元组简记为 $(G,m)$ 或 $G$.

群同态

群同态是群之间保持群结构的映射.

定义 1.2 (群同态). 两个群 $G$、$H$ 之间的同态是映射 $f:G\to H$, 满足$$f(a)f(b)=f(ab),\forall a,b\in G.$$

定义 1.3 (群范畴). 所有群和它们之间的同态构成一个范畴, 称为群范畴, 记为 $\mathsf{Grp}$.

定义 1.4 (群同构). 两个群 $G$、$H$ 称为同构的, 如果它们在群范畴中同构.

等价地说, 如果存在同态$$f:G\to H,g:H\to G,$$使得 $g\circ f$ 和 $f\circ g$ 均为恒同映射, 就说 $G$ 和 $H$ 同构, 也称映射 $f$ 和 $g$ 为同构.

2相关概念

•	群对象
•	群胚

术语翻译

群 • 英文 group • 德文 Gruppe (f) • 世界语 grupo • 法文 groupe (m) • 拉丁文 caterva (f) • 古希腊文 ὁμάς (f)