2-群

本文介绍的是一种高阶代数结构, 而不是 “$p$-群” 当 $p=2$ 时的特例.

$2$-群是一种代数结构, 是群的推广. 直观上看, 有以下几种方式理解 $2$-群.

•	$2$-群是在群的基础上, 给每个点添加一个自同构群, 而得到的结构. 正如给集合的元素添加自同构能得到群胚, $2$-群实际上就是带有群结构的群胚.

•	$2$-群是只有一个对象 (或者说, 所有对象都同构) 的 $2$-群胚.

1定义

定义 1.1. $2$-群是指小幺半范畴 $\mathcal{G}$, 使得

•	$\mathcal{G}$ 是群胚.

•	对任意对象 $x\in \mathcal{G}$, 左乘、右乘 $x$ 都是 $\mathcal{G}$ 到自身的范畴等价.

$2$-群之间的态射, 或称同态, 就是指其间的幺半函子. 两个态射之间的 $2$-态射是指幺半函子间的幺半自然变换. 注意到这样的 $2$-态射必可逆.

所有 $2$-群及其间的态射、$2$-态射构成一个 $(2,1)$-范畴 $2\text{-}\mathsf{Gp}$.

在 $2$-群中, 每个对象的自同构群都同构, 因为对每个对象 $x$, 左乘 $x$ 就将单位对象的自同构群与 $x$ 的自同构群等同起来. 由于 Eckmann–Hilton 论证, 这一自同构群一定是 Abel 群, 因为单位对象的自同构既可以直接复合, 也可以通过幺半结构来相乘.

2例子

•	每个群 $G$ 都能视为 $2$-群, 因为可将 $G$ 视为离散的群胚.

•	对每个 Abel 群 $G$, 都有 $2$-群 $[\ast /G]$, 它仅有一个对象, 其自同构群为 $G$.

•	设 $X$ 是拓扑空间, $x\in X$ 为一点. 定义群胚 $\mathcal{G}$, 其对象为 $x$ 出发的环路, 态射为环路间的同伦的同伦类. 则 $\mathcal{G}$ 是 $2$-群, 其群运算为环路的衔接. 事实上, 它等价于向基本群 ${\pi }_1(X,x)$ 的每个元素添加自同构群 ${\pi }_2(X,x)$ 得到的 $2$-群.

•	设 $X$ 是光滑流形或复代数簇. 则 $X$ 上所有复线丛及其间的同构构成的群胚是 $2$-群, 其群运算为线丛的张量积.

•	设 $G$ 是 Lie 群. 给每个 $g\in G$ 赋予自同构群 ${\pi }_1(G,g)$, 则能得到一个 $2$-群, 这事实上还是个 Lie $2$-群.

3相关概念

•	$n$-群、$\infty$-群

术语翻译

$2$-群 • 英文 $2$-group • 德文 $2$-Gruppe (f) • 法文 $2$-groupe (m)