代数整数环

数域 $K$ 的代数整数环 ${\mathcal{O}}_K$ 是其中所有代数整数构成的环, 也是 $\mathbb{Z}$ 在 $K$ 中的整闭包.

${\mathcal{O}}_K$ 是代数数论的重要研究对象. ${\mathcal{O}}_K$ 是 Dedekind 整环, 这推出它中的非零理想有唯一分解. 但 ${\mathcal{O}}_K$ 本身不一定唯一分解, 这失败程度由类群衡量.

1基本性质

下面约定 $n=[K:\mathbb{Q}]$.

定理 1.1. ${\mathcal{O}}_K$ 张成 $K$ ($K$ 作为 $\mathbb{Q}$-向量空间).

证明. 对 $a\in K$, 设 $p(x)=c_d{x}^d+c_{d-1}{x}^{d-1}+\cdots +c_0$ 是其在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式. 不妨 $p(x)\in \mathbb{Z}[x]$, 这样 $q(x)=c_d^{d-1}p(x/c_d)$ 首一且整系数, 且 $q(c_{d}a)=0$, 于是 $c_{d}a\in {\mathcal{O}}_K$, 即每个 $K$ 的元素都有某非零整数倍在 ${\mathcal{O}}_K$ 中, 于是显然 ${\mathcal{O}}_K$ 张成 $K$.

$\square$

回忆迹映射 $\mathrm{tr}:K\to \mathbb{Q}$.

引理 1.2. 对 $x\in {\mathcal{O}}_K$, $\mathrm{tr}(x)\in \mathbb{Z}$.

证明. 设 $x$ 的最小多项式为 $x^d-c_1{x}^{d-1}+\cdots +(-1{)}^d{c}_d$. 那么简单的域论告诉我们 $\mathrm{tr}(x)=(n/d)c_1$. 由于 $n/d=[K:\mathbb{Q}(x)]$ 是整数, $c_1$ 是整数, 所以 $\mathrm{tr}(x)$ 是整数.

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定理 1.3 ($\mathbb{Z}$-模结构). 作为 $\mathbb{Z}$-模, ${\mathcal{O}}_K$ 同构于 ${\mathbb{Z}}^n$.

证明. 由定理 1.1, 可取一组 $\mathbb{Q}$-线性无关的 $a_1,a_2,\dots ,a_n\in {\mathcal{O}}_K$. 对 $x=c_1{a}_1+c_2{a}_2+\cdots +c_n{a}_n\in {\mathcal{O}}_K$, 我们来说明 $c_i$ 的分母有界. 由引理 1.2, 知对每个 $i$ 有 $\mathrm{tr}(x{a}_i)\in \mathbb{Z}$, 即$$\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{tr}(a_1{a}_1)& \mathrm{tr}(a_1{a}_2)& \cdots & \mathrm{tr}(a_1{a}_n)\\ \mathrm{tr}(a_2{a}_1)& \mathrm{tr}(a_2{a}_2)& \cdots & \mathrm{tr}(a_2{a}_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{tr}(a_n{a}_1)& \mathrm{tr}(a_n{a}_2)& \cdots & \mathrm{tr}(a_n{a}_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\in {\mathbb{Z}}^n.$$记那个矩阵为 $M$, 则两边左乘伴随矩阵 $\mathrm{adj}(M)$ 得$$\det (M)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\in {\mathbb{Z}}^n.$$

接下来我们只需论证 $\det (M)\ne 0$. 假设 $\det (M)=0$, 于是存在 $\vec{v}\in {\mathbb{Z}}^n\setminus \{0\}$ 满足 $Mv=0$. 于是对任何 $\vec{w}\in {\mathbb{Z}}^n$, 有$$\left(\begin{array}{cccc}{w}_1& w_2& \cdots & w_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{tr}(a_1{a}_1)& \mathrm{tr}(a_1{a}_2)& \cdots & \mathrm{tr}(a_1{a}_n)\\ \mathrm{tr}(a_2{a}_1)& \mathrm{tr}(a_2{a}_2)& \cdots & \mathrm{tr}(a_2{a}_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{tr}(a_n{a}_1)& \mathrm{tr}(a_n{a}_2)& \cdots & \mathrm{tr}(a_n{a}_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)=0.$$展开, 得$$\mathrm{tr}((a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n)(a_1{w}_1+a_2{w}_2+\cdots +a_n{w}_n))=0.$$记 $x=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$, 则 $x\ne 0$. 由于 $\vec{w}$ 是任意的, 对所有 $y\in K$ 都有 $\mathrm{tr}(xy)=0$, 但取 $y=x^{-1}$ 有 $\mathrm{tr}(xy)=\mathrm{tr}(1)=n$, 矛盾.

故 $c_i$ 的分母均整除非零数 $\det (M)$, 商模 ${\mathcal{O}}_K/⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$ 有限. 于是 ${\mathcal{O}}_K$ 有限生成, 显然它无挠. 由主理想整环上有限生成模的结构定理 ${\mathcal{O}}_K$ 作为 $\mathbb{Z}$-模同构于 ${\mathbb{Z}}^n$.

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证明中的 $\det (M)$ 被称为 ${\mathcal{O}}_K$ 相对于基 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 的判别式. 假如 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 刚好生成 ${\mathcal{O}}_K$, 这个判别式就称为 ${\mathcal{O}}_K$ 的判别式. 不难证明基的选取不影响判别式.

定理 1.4. ${\mathcal{O}}_K$ 是 Dedekind 整环.

证明. 我们来验证 Dedekind 整环条目中第一个等价定义. 由于 ${\mathcal{O}}_K$ 是 $\mathbb{Z}$ 在 $K$ 中的整闭包, 有 ${\mathcal{O}}_K$ 整闭. 由定理 1.3 它作为 $\mathbb{Z}$-模 Noether, 从而 Noether. 于是只需证它的 Krull 维数是 $1$, 即非零素理想都极大. 设 $\mathfrak{p}$ 是 ${\mathcal{O}}_K$ 的非零素理想, $a\in \mathfrak{p}\setminus \{0\}$. 那么由 $(a)\subseteq \mathfrak{p}$ 知 $\mathfrak{p}$ 也 $\mathbb{Q}$-张成 $K$. 具体地, 它包含 $n$ 个 $\mathbb{Q}$-线性无关的元素, 从而 ${\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}$ 有限. 又因为有限整环皆是域, 故 $\mathfrak{p}$ 极大.

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