代数整数

代数整数是指能作为整系数首一多项式的根的复数. 因此, 所有代数整数都是代数数, 但并非所有代数数都是代数整数.

例如, 形如 $m+n\sqrt{-1}$ $(m,n\in \mathbb{Z})$ 的复数都是代数整数, 因为它是首一多项式 $x^2-2mx+(m^2+n^2)$ 的根. 又例如, $\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ 也是代数整数, 因为它是首一多项式 $x^2-x+1$ 的根.

1定义

在复数域上

定义 1.1. 称复数 $\alpha \in \mathbb{C}$ 为代数整数, 若其满足以下条件:

•	存在最高次项系数为 $1$ 的整系数多项式 $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$, 使得 $P(\alpha )=0$.

也就是说, 代数整数就是 $\mathbb{C}$ 中 $\mathbb{Z}$ 上的整元.

所有代数整数构成 $\mathbb{C}$ 的子环, 也就是 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{C}$ 中的整闭包. 等价地说, 也是 $\mathbb{Z}$ 在代数数域 $\overline{\mathbb{Q}}$ 中的整闭包.

在数域上

我们也可以考察某个数域里的代数整数:

定义 1.2 (数域的整数环). 数域 $K$ 的代数整数是其中 $\mathbb{Z}$ 上整元.

$K$ 中所有代数整数构成子环 ${\mathcal{O}}_K\subset K$, 称为 $K$ 中代数整数环, 也就是 $\mathbb{Z}$ 在 $K$ 中的整闭包.

2例子

•	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是代数数, 但不是代数整数, 因其在 $\mathbb{Q}$ 上首一最小多项式为 $P(x)=x^2-\frac{1}{2}$ 不是整系数多项式.

•	$n$ 次单位根 ${\zeta }_n$ 是代数整数. 事实上分圆域 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ 的整数环正是 $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$.

3性质

一般性质

整元的一般性质表明, $\alpha \in \mathbb{C}$ 是代数整数这件事与以下性质均等价:

•	$\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上代数, 且在 $\mathbb{Q}$ 上首一最小多项式是整系数的.
•	$\mathbb{Z}[\alpha ]$ 是有限生成 $\mathbb{Z}$-模.
•	存在有限生成 $\mathbb{Z}$-模 $M\subseteq C$ 使得 $\alpha M\subseteq M$.

由上不难验证:

•	代数整数在加法、乘法下封闭. 所以代数整数全体构成复数域的子环.

命题 3.1. $\mathbb{C}$ 中所有代数整数构成 Bézout 整环.

一些不变量

定义 3.2 (次数). ...

定义 3.3 (迹). ...

定义 3.4 (范). ...

4相关概念

•

代数数、超越数

术语翻译

代数整数 • 英文 algebraic integer • 法文 entier algébrique (m) • 拉丁文 integer algebraicus (m) • 古希腊文 μεταριθμικὸς ἀκέραιος (m) • 日文 代数的整数