迹 (域论)

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对域的有限扩张 $L/K$, 其迹是一个 $K$-线性映射 ${\mathrm{Tr}}_{L/K}:L\to K$. 对扩域 $L$ 的元素 $\alpha \in L$, 其迹 ${\mathrm{Tr}}_{L/K}(\alpha )$ 等于乘 $\alpha$ 这一操作作为 $L$ 上的 $K$-线性变换的迹. 对 Galois 扩张而言, $\alpha$ 的迹也等于其所有 Galois 共轭之和.

1定义

定义 1.1. 设 $L/K$ 为域的有限扩张. 对 $\alpha \in L$, 考虑 $K$-向量空间 $L$ 上的 $K$-线性变换$$T_{\alpha }:L\to L,T_{\alpha }(x)=\alpha x.$$定义该线性变换的迹$${\mathrm{Tr}}_{L/K}(\alpha )=\mathrm{tr}(T_{\alpha })$$为元素 $\alpha$ 的迹.

映射 ${\mathrm{Tr}}_{L/K}:L\to K$ 是 $K$-线性映射.

2性质

命题 2.1. 若 $L/K$ 为可分扩张, $\sigma$ 取遍 $L$ 到 $K$ 的代数闭包 $\overline{K}$ 的所有 $K$-嵌入, 则

1.	$f_{\alpha }(t)={\prod }_{\sigma }(t-\sigma (\alpha ))$;
2.	${\mathrm{Tr}}_{L/K}(\alpha )={\sum }_{\sigma }\sigma (\alpha )$.

证明. 设 $[L:K]=n$, $\alpha$ 的最小多项式 $p_{\alpha }(t)$ 次数为 $m$, $$p_{\alpha }(t)=t^m+c_1{t}^{m-1}+\cdots +c_m,$$$[L:K(x)]=d$, 则 $n=md$.

$1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^{m-1}$ 构成 $K(x)/K$ 的一组基, 取 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_d$ 为 $L/K(x)$ 一组基, 则 ${\alpha }_i{\alpha }^j,1\le i\le d,0\le j\le m-1$ 构成 $L/K$ 一组基. 在这组基下, $T_{\alpha }$ 的矩阵是分块对角矩阵, 每块均为 $p_{\alpha }(t)$ 的友阵$$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -c_m\\ 1& 0& \cdots & 0& -c_{m-1}\\ 0& 1& \cdots & 0& -c_{m-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -c_1\end{array}\right),$$一共 $d$ 块, 故 $f_{\alpha }(t)=p_{\alpha }(t{)}^d$.

另一方面, 设 ${\mathrm{hom}}_K(K(x),\overline{K})={\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_m$, 则 $p_{\alpha }(t)={\prod }_{i=1}^m(t-{\sigma }_i(\alpha ))$. 由可分性, 对于每个 ${\sigma }_i$, $\mathrm{hom}(L,\overline{K})$ 中有 $d$ 个不同嵌入 ${\sigma }_{i,1},\dots ,{\sigma }_{i,d}$ 使 ${\sigma }_{i,j}{|}_{K(x)}={\sigma }_i$, 且这 $md=n$ 个嵌入构成 $L$ 到 $\overline{K}$ 的所有 $K$-嵌入. 故$$f_{\alpha }(t)=p_{\alpha }(t{)}^d=\prod _{i=1}^m(t-{\sigma }_i\alpha {)}^d=\prod _{i=1}^d\prod _{j=1}^m(t-{\sigma }_{i,j}\alpha )=\prod _{\sigma }(t-\sigma \alpha ),$$最后一个求积式 $\sigma$ 取遍 ${\mathrm{hom}}_K(L,\overline{K})$.

$\square$

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命题 2.2. 设 $L/E/K$ 为域扩张的塔, 则$${\mathrm{Tr}}_{L/K}={\mathrm{Tr}}_{L/E}\circ {\mathrm{Tr}}_{E/K}.$$

命题 2.3. 如果 $L/K$ 可分, 迹映射 ${\mathrm{Tr}}_{L/K}$ 不是零映射. 定义对称双线性型 $(x,y)=\mathrm{Tr}(xy)$, 则它非退化.

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3相关概念

术语翻译

迹 • 英文 trace • 德文 Spur (f) • 法文 trace (f) • 日文 トレース • 韩文 대각합 (對角合)