代数 Kan 复形

代数 Kan 复形是 $\infty$-群胚的一种定义.

1定义

定义 1.1. 对于自然数 $k\le n$, 单纯集 $\Delta [n]$ 的第 $k$ 个角定义为删去内部与第 $k$ 个面得到的单纯形 ${\Lambda }_k[n]$.

更具体地说, 由于 $\Delta [n]$ 定义为可表函子 $\mathbb{\Delta }(-,[n])$, 它满足 $\Delta [n]([n])=\{\mathrm{id}\}$ 为恒等映射的单点集, 并且 $\Delta [n]([n-1])$ 为 $(n+1)$-元集, 分别是跳过第 $0,1,\dots ,n$ 个元素的单调映射 $[n-1]\to [n]$. ${\Lambda }_k[n]$ 的定义与 $\Delta [n]$ 一致, 但是将 ${\Lambda }_k[n]([n])$ 定义为空集, ${\Lambda }_k[n]([n-1])$ 删去跳过第 $k$ 个元素的单调映射.

${\Lambda }_k[n]$ 到 $\Delta [n]$ 有明显的单态射.

定义 1.2. 代数 Kan 复形定义为一个单纯形 $X$ 配备一族操作 $K_{n,k}$. 对于每个态射 $h:{\Lambda }_k[n]\to X$, $K_{n,k}(h)$ 是一个态射 $\Delta [n]\to X$, 使得以下图表交换.$${\Lambda }_k[n]X\Delta [n]h{K}_{n,k}(h)$$这族操作被称为 Kan 填充.

代数 Kan 复形之间的态射定义为单纯形的态射 $f:X\to Y$, 使得对应的 Kan 填充操作满足$$K_{k,n}(f\circ h)=f\circ K_{n,k}(h),$$其中左侧的 $K$ 为 $Y$ 上的 Kan 填充, 右侧的则为 $X$ 上的填充操作.

代数 Kan 复形构成范畴.

我们取一些低维的例子说明其直觉. 考虑 $K_{2,2}$, 它的定义域为所有的角 ${\Lambda }_2[2]\to X$, 即 $X$ 中的三个点 $x,y,z$, 与两条线段 $\overline{xy},\overline{yz}$. 操作 $K_{2,2}$ 得到一条新线段 $\overline{xz}$ 与对应的三角形 $△xyz$. 考虑一个拓扑空间. 它对应的奇异单纯集中, 线段就是拓扑空间里的道路, 即从区间 $[0,1]$ 出发的连续函数; 三角形就是拓扑空间中的三角形, 即从 ${\mathbb{R}}^2$ 平面上的一个三角形出发的连续函数. 因此 $△xyz$ 可以看作两条道路 $\overline{xy},\overline{yz}$ 拼接后到 $\overline{xz}$ 的同伦. 我们可以选择 $\overline{xz}$ 即为两条道路的拼接, 而同伦为平凡的同伦.

2例子

•	任何拓扑空间对应的奇异单纯集都可以配备代数 Kan 复形结构.
•	假设选择公理成立, 给定一个 Kan 复形, 我们为每个角选择一个填充即得到一个代数 Kan 复形.

3性质

4相关概念

•	$\infty$-范畴
•	$\infty$-群胚
•	Kan 复形

术语翻译

代数 Kan 复形 • 英文 algebraic Kan complex

角 • 英文 horn