∞-群胚

在高阶范畴论中, $\infty$-群胚 (也称为生象, 或直接称为空间) 是群胚的推广, 也是 $\infty$-范畴的特例. $\infty$-群胚也就是所有态射、高阶态射均可逆的 $\infty$-范畴, 即 $(\infty ,0)$-范畴.

大致来说, $\infty$-群胚就是代数拓扑中所研究的拓扑空间的同伦型. 具体而言, 在代数拓扑中, 常常将同伦等价的拓扑空间视为同样的空间, 并研究那些被同伦等价保持的性质, 例如同伦群、普通同调等. 这些性质实际上是同伦型的性质, 也就是 $\infty$-群胚的性质. 我们只考虑那些同伦等价于 CW 复形的同伦型, 这些空间具有良好的性质. 这部分同伦型也常常使用 Kan 复形来描述, 但这与使用拓扑空间大同小异.

在这种观点下, 普通的群胚对应于 $1$-截断的空间, 也就是同伦群 ${\pi }_n$ 当 $n>1$ 时为零的空间. 例如, 群 $G$ 的解环群胚 $\mathrm{B}G$ 的几何实现是 $G$ 的分类空间 $\mathrm{B}G$. 通过基本群胚的构造, 即可从空间还原回原来的群胚. 更一般地, 通过基本 $\infty$-群胚, 即可从任何空间得到对应的 $\infty$-群胚.

更准确地说, 我们将 $\infty$-群胚视为抽象的数学对象, 而用多种不同的方式来描述它, 每种方式给出一个等价的定义. 例如, 前文已经给出了以下几种观点:

•	$\infty$-群胚是 CW 复形, 其间的等价是 CW 复形的同伦等价.

•	$\infty$-群胚是 Kan 复形, 其间的等价是 Kan 复形的同伦等价.

•	$\infty$-群胚是所有态射均可逆的 $\infty$-范畴.

所有 $\infty$-群胚构成 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{S}$, 称为空间 $(\infty ,1)$-范畴.

1定义

常常直接将 $\infty$-群胚定义为 Kan 复形. 但如引言所述, $\infty$-群胚的等价并不是 Kan 复形的同构, 而是同伦等价. 换言之, 我们需要将同伦等价的 Kan 复形视为同样的 $\infty$-群胚.

定义 1.1 ($\infty$-群胚). $\infty$-群胚是指 Kan 复形.

$\infty$-群胚的等价是指 Kan 复形的同伦等价.

在 Kan 复形的范畴中, 我们不能直接使用其中的同构, 而需考虑一种更弱的等价关系, 即同伦等价. 这一现象是局部化的例子, 这可以使用模型范畴或 $\infty$-范畴的理论准确地描述. 准确地说, 在 Kan 复形的范畴中, 将所有同伦等价变得可逆, 得到的范畴就是一个 $(\infty ,1)$-范畴, 这也就是 $\infty$-群胚的范畴.

定义 1.2. $\infty$-群胚的范畴是指局部化得到的 $(\infty ,1)$-范畴$$\infty \text{-}\mathsf{Grpd}=\mathsf{Kan}[{\mathsf{W}}^{-1}],$$其中

•	$\mathsf{Kan}$ 是 Kan 复形的范畴, 是单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 的全子范畴.

•	$\mathsf{W}$ 是 Kan 复形之间所有同伦等价构成的态射类.

这也称为空间 $(\infty ,1)$-范畴或生象范畴, 也常常记为 $\mathsf{S}$ 或 $\mathsf{Ani}$.

2相关概念

术语翻译

$\infty$-群胚 • 英文 $\infty$-groupoid • 德文 $\infty$-Gruppoid (n) • 法文 $\infty$-groupoïde (m)

生象 • 英文 anima