单纯集

单纯集是由单形粘起来得到的图形. 单纯集类似于单纯复形, 但单纯集的单形带有顶点的排序.

单纯集是代数拓扑和同伦论中的重要工具, 可以用作 $\infty$-群胚和 $\infty$-范畴的模型.

1定义

定义 1.1 (范畴 $\mathbb{\Delta }$). 单形范畴是如下定义的范畴 $\mathbb{\Delta }$:

•	其对象为所有形如 $[n]=\{0,\dots ,n\}$ 的集合, 其中 $n\ge 0$.

•	态射集 $\mathbb{\Delta }([m],[n])$ 由所有从 $[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射 (即保持 $\le$ 关系的映射) 构成.

范畴 $\mathbb{\Delta }$ 也可以看成带有顶点排序的标准单形构成的范畴, 其态射为单形之间将顶点映到顶点的线性映射, 并要求保持顶点的排序.

在范畴 $\mathbb{\Delta }$ 中, 有两类特殊的态射:

•	有面映射$$d^i:[n-1]\to [n](0\le i\le n),$$定义为跳过 $[n]$ 的元素 $i$, 在其余元素上是保序双射.

•	有退化映射$$s^i:[n+1]\to [n](0\le i\le n),$$定义为将 $[n+1]$ 的元素 $i$ 和 $i+1$ 都映到 $[n]$ 的元素 $i$, 在其余元素上是保序双射.

面映射和退化映射构成了 $\mathbb{\Delta }$ 中 (不交换的) 图表$$[0][1][2]\cdots .$$不难验证, $\mathbb{\Delta }$ 中所有态射都能写成一系列面映射和退化映射的复合.

定义 1.2 (单纯集). 单纯集是从 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Set}$ 的函子, 即从 $\mathbb{\Delta }$ 到 $\mathsf{Set}$ 的反变函子, 也即 $\mathbb{\Delta }$ 上的预层. 单纯集的范畴记为$$\mathsf{sSet}=\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}).$$

设 $X$ 是单纯集. 记$$X_n=X([n]),$$称此集合为 $X$ 的 $\mathbf{n}$ 维单形的集合. $\mathbb{\Delta }$ 中态射 $d^i$ 和 $s^i$ 诱导了映射$$\begin{array}{rl}{d}_i:X_n\to X_{n-1}& (0\le i\le n),\\ s_i:X_n\to X_{n+1}& (0\le i\le n),\end{array}$$分别称为 $X$ 的面映射和退化映射.

2例子

•	设 $X$ 是拓扑空间, 令$$\mathrm{Sing}(X{)}_n=\mathsf{Top}({\Delta }^n,X),$$其中 ${\Delta }^n$ 表示拓扑中的标准 $n$ 维单形. 这就给出了单纯集 $\mathrm{Sing}(X)$, 称为 $X$ 的奇异单纯集. 它用于定义奇异同调和奇异上同调.

•	单纯集 $\Delta [n]$ 就是标准 $n$ 维单形 (作为单纯复形) 对应的单纯集, 也即由 $[n]$ 表出的预层. 它的 $k$ 维单形对应于保序映射 $[k]\to [n]$, 这里 $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ 视为其顶点的标号集. 由 Yoneda 引理, 对任何单纯集 $X$, 有$$X_n\simeq \mathsf{sSet}(\Delta [n],X).$$

•	在 $\Delta [n]$ 中去掉其内部, 就得到了其边界 $\partial \Delta [n]$. 其 $k$ 维单形对应于不满的保序映射 $[k]\to [n]$.

•	单纯集 $S^n$ 定义为商单纯集 $\Delta [n]/\partial \Delta [n]$, 这里的商可以逐个维数来定义.

3性质

4相关概念

术语翻译

单纯集 • 英文 simplicial set • 德文 simpliziale Menge (f) • 法文 ensemble simplicial (m) • 拉丁文 copia simplicialis (f) • 古希腊文 ἀπλοϊκὸν σύνολον (n)