勾股方程

勾股方程是初等数论的一个重要方程, 因其正整数解可代表直角三角形三边长度均为整数的情况而得名.

1定义

定义 1.1 (勾股方程). 勾股方程是如下形式的方程$$a^2+b^2=c^2,a,b,c\in \mathbb{Z}.$$

将解用 $(a,b,c)$ 的形式表示, 则比如 $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ 都是勾股方程的一个解.

2性质

定理 2.1. 若 $(a,b,c)$ 是勾股方程的一个解, 则: $$\begin{gathered} (\pm a,\pm b,\pm c) \\ (\pm b,\pm a,\pm c) \end{gathered}$$均为勾股方程的解.

证明显然, 带入定义即可.

定理 2.2 (归约单位圆上有理点). 若 $c\ne 0$, 则勾股方程与下列方程等价: $$x^2+y^2=1,x,y\in \mathbb{Q}.$$称 $(x,y)$ 是该单位圆上的有理点.

证明. 充分性: 令 $x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}$ 即可.

必要性: 设 $x=\frac{p_1}{q_1},y=\frac{p_2}{q_2}$, 其中 $p_i,q_i\in \mathbb{Z}$ 且 $p_i$ 与 $q_i$ 互素. 带回原方程可得$$\begin{array}{rl}\frac{p_1^2}{q_1^2}+\frac{p_2^2}{q_2^2}& =1\\ (p_1{q}_2{)}^2+(p_2{q}_1{)}^2& =(q_1{q}_2{)}^2.\end{array}$$令 $a=p_1{q}_2,b=p_2{q}_1,c=q_1{q}_2$ 即可.

$\square$

这也说明单位圆上的任意一个有理点 $(x,y)$, $x$ 和 $y$ 的最简分数表示具有相同的分母.

3通解与解的数量

定理 3.1 (勾股方程的通解). 勾股方程的全体通解可表示为$$\begin{array}{rl}a& =u^2-v^2\\ b& =2uv\\ c& =u^2+v^2,\end{array}$$其中 $(u,v)\in {\mathbb{Z}}^2/\sim ,(u,v)\sim (-u,-v)$.

(使用 Gauß 整数证明...)

(基于单位圆上有理点的初等证明...)

定理 3.2 (圆上的整点数量). 令 $n$ 为正整数, 则方程$$x^2+y^2=n$$的整数解有 $4{\sum }_{d\mid n}\chi (d)$ 个, 其中$$\chi (d)=\{\begin{array}{ll}1& d\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ 0& d\equiv 0(\mathrm{mod}2)\\ -1& d\equiv -1(\mathrm{mod}4)\end{array}.$$