Möbius 函数 (数论)

关于其它含义, 请参见 “Möbius 函数”.

约定. 在本文中,

• 符号 $s$ 总是表示以 $\sigma$ 为实部、$t$ 为虚部的复数.

在数论中, Möbius 函数指数论函数 $\mu :{\mathbb{N}}_{+}\to \mathbb{Z}$:

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^{\omega (n)}& n无平方因子\\ 0& n有平方因子\end{array}$$

其中 $\omega (n)$ 表示 $n$ 的不同素因子之个数. 它是 Dirichlet 卷积意义下, 正整数上常值函数 $1$ 之逆.

1定义

定义 1.1. Möbius 函数是函数 $\mu :{\mathbb{N}}_{+}\to \mathbb{Z}$: $$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^{\omega (n)}& n无平方因子\\ 0& n有平方因子\end{array}$$其中 $\omega (n)$ 表示 $n$ 的不同素因子个数.

2性质

基本性质

下面的结论由 $\mu$ 的定义可知.

命题 2.1. $\mu$ 是积性函数, 且 $f$ 为积性函数时, $$\sum _{d|n}f(d)\mu (d)=\prod _{p|d}(1-f(p))$$特别地, 分别将 $f(n)=1$ 和 $f(n)=1/n$ 代入, 便有: $$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\phi (n)}{n},$$$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n>1.\end{array}$$

通过上面的命题可以看出$$\mu \ast 1=\delta (1)$$即 $\mu$ 是 Dirichlet 卷积意义下, 正整数上常值函数 $1$ 之逆. 因此我们由如下函数间的等式.

命题 2.2. 记 $\mathrm{i}\mathrm{d}$ 为 ${\mathbb{N}}_{+}$ 上恒等映射, $\phi$ 为 Euler 函数, $1$ 为常为 $1$ 的函数, $\tau$ 为约数个数函数, $\sigma$ 为约数和函数, 则有$$\begin{array}{rl}\mu \ast \mathrm{i}\mathrm{d}& =\phi \\ \mu \ast \tau & =1\\ \mu \ast \sigma & =\mathrm{i}\mathrm{d}.\end{array}$$$\ast$ 即为 Dirichlet 卷积: $$f\ast g(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

将上述卷积等式写成 Dirichlet 级数的形式, 可知

命题 2.3. $$\sum _{n\ge 1}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}.$$

部分和

参见: Riemann_zeta_函数#零点分布; Perron 公式

利用 Perron 公式, 可知当 $k=1-\sigma +(\log x{)}^{-1}$、$2\le T\le x$ 时总有:

$$\sum _{n\le x}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{k-iT}^{k+iT}\frac{x^w}{w\zeta (s+w)}\mathrm{d}w+O\left(\frac{x^{1-\sigma }\log x}{T}\right)$$(1)

根据 [Tit86, (3.11.8)] 以及非零区域 $\sigma \ge 1-A/\log (|t|+2)$ 的一个推论, 可知存在 $A>0$ 使得当 $\sigma \ge 1-A/\log T$ 且 $2\le |t|\le T$ 时:

$$\frac{1}{\zeta (s)}=O(\log T)$$

因此当 $\delta =A/\log T$ 且 $\sigma \ge 1$ 时根据留数定理可知:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{k-iT}^{k+iT}& =\frac{1}{\zeta (s)}+{\int }_{k-iT}^{1-\sigma -\delta -iT}+{\int }_{1-\sigma -\delta -iT}^{1-\sigma -\delta +iT}+{\int }_{1-\sigma -\delta +iT}^{k+iT}\\ & =\frac{1}{\zeta (s)}+O\left(\frac{x^k\log T}{T}\right)+O\left\{x^{1-\sigma -\delta }(\log T{)}^2\right\}\\ & =\frac{1}{\zeta (s)}+O\left(\frac{x^k\log T}{T}\right)+O\left\{x^{1-\sigma }(\log T{)}^2\exp \left(-\frac{A\log x}{\log T}\right)\right\}\end{array}$$

将此结论代入至 (1) 中便得:

$$\sum _{n\le x}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}+O\left(\frac{x^{1-\sigma }\log x}{T}\right)+O\left\{x^{1-\sigma }\exp \left(-\frac{A\log x}{2\log T}\right)\right\}$$(2)

现在把 $\log T=\sqrt{\log x}$ 代入回 (2) 中, 就能得到结论:

定理 2.4 (Landau). 存在固定常数 $c>0$ 使得对于所有 $\sigma \ge 1$、$t\in \mathbb{R}$, 均有: $$\sum _{n\le x}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}+O\left\{x^{1-\sigma }\exp \left(-c\sqrt{\log x}\right)\right\}$$特别地, 有: $$\sum _{n\ge 1}\frac{\mu (n)}{n}=0$$

当 $0\le \sigma <1$ 时我们只需要在采用留数定理时不将 $1/\zeta (s)$ 包含进来即可, 相应结论为:

定理 2.5 (Landau). 存在常数 $c>0$ 使得当 $0\le \sigma <1$ 时: $$\sum _{n\le x}\frac{\mu (n)}{n^s}=O\left\{x^{1-\sigma }\exp \left(-c\sqrt{\log x}\right)\right\}$$特别地, 有: $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\sum _{n\le x}\mu (n)=0$$

3与 Riemann 猜想的关系

事实上 Möbius 函数与 Riemann 猜想有着密切的联系:

命题 3.1. 若 Riemann 猜想成立, 则对于所有的 $\epsilon >0$ 均有: $$\sum _{n\le x}\mu (n)=O(x^{\frac{1}{2}+\epsilon })$$(3)其中隐含常数只与 $\epsilon$ 有关.

证明. 将 $s=0$ 代入至 (1) 中, 可知: $$\sum _{n\le x}\mu (n)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{k-iT}^{k+iT}\frac{x^w\mathrm{d}w}{w\zeta (w)}+O\left(\frac{x\log x}{T}\right)$$(4)对于 (4) 中的积分, 利用留数定理可知: $$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{k-iT}^{k+iT}\frac{x^w\mathrm{d}w}{w\zeta (w)}={\int }_{k-iT}^{\frac{1}{2}+\epsilon -iT}+{\int }_{\frac{1}{2}+\epsilon -iT}^{\frac{1}{2}+\epsilon +iT}+{\int }_{\frac{1}{2}+\epsilon +iT}^{k+iT}$$(5)根据 [Tit86, (14.14.5)], 可知当 Riemann 猜想成立时对于所有的 $\epsilon >0$、$\frac{1}{2}+\epsilon \le \sigma \le 2$、$2\le |t|\le T$ 时均有: $$\left|\frac{1}{\zeta (s)}\right|=O(T^{\epsilon })$$这意味着 (5) 可以被简化成: $$\begin{array}{rl}{\int }_{k-iT}^{k+iT}& \ll \frac{x}{T^{1-\epsilon }}+x^{\frac{1}{2}+\epsilon }{T}^{\epsilon }\\ & \le x^{\frac{1}{2}+\epsilon }(x^{\frac{1}{2}}{T}^{-1}+T^{\epsilon })\end{array}$$现在设 $T=x^{\frac{1}{2}}$ 并将此结果回代至 (4) 中, 即可发现对于所有的 ${\epsilon }^{\prime }>0$ 均有: $$\sum _{n\le x}\mu (n)\ll x^{\frac{1}{2}}\log x+x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\cdot x^{\frac{\epsilon }{2}}\ll x^{\frac{1}{2}+\frac{3\epsilon }{2}}$$设 $\epsilon =3{\epsilon }^{\prime }/2$ 即得结论.

$\square$

事实上, 我们也可以用 $\mu (n)$ 的 Dirichlet 级数构造一个与 Riemann 猜想的充要条件:

命题 3.2. Riemann 猜想成立当且仅当下列等式对一切 $\sigma >1/2$ 均成立: $$\sum _{n\ge 1}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$$(6)

证明. 必要性显然, 现证充分性: 对于 (1) 中的积分, 通过留数定理可知: $${\int }_{k-iT}^{k+iT}=\frac{1}{\zeta (s)}+{\int }_{k-iT}^{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon -iT}+{\int }_{\frac{1}{2}+\sigma +\epsilon -iT}^{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon +iT}+{\int }_{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon +iT}^{k+iT}$$(7)根据 [Tit86, (14.14.5)], 可知当 Riemann 猜想成立时对于所有的 $\epsilon >0$、$\frac{1}{2}+\epsilon \le \sigma \le 2$、$2\le |t|\le T$ 时均有: $$\left|\frac{1}{\zeta (s)}\right|=O(T^{\epsilon })$$所以 (7) 右侧的积分满足: $$\begin{array}{rl}{\int }_{k-iT}^{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon -iT}+{\int }_{\frac{1}{2}+\sigma +\epsilon -iT}^{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon +iT}+{\int }_{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon +iT}^{k+iT}& \ll x^{1-\sigma }{T}^{\epsilon -1}+x^{\frac{1}{2}-\sigma +\epsilon }{T}^{\epsilon }\\ & \le x^{\frac{1}{2}-\sigma }(x^{\frac{1}{2}}{T}^{-1}+T^{\epsilon })\end{array}$$将此结果回代至 (1) 中并设 $T=x^{\frac{1}{2}}$, 即得: $$\sum _{n\le x}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}+O(x^{\frac{1}{2}-\sigma +\frac{3\epsilon }{2}})$$让 $\epsilon$ 足够小, 并令 $x\to \infty$ 即得 (6).

$\square$

参考文献

[Lan74]	Landau, E. (1974). Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (3d ed). Chelsea Pub. Co.
[Tit86]	Titchmarsh, E. C., & Heath-Brown, D. R. (1986). The theory of the Riemann zeta-function (2nd ed). Oxford University Press.

术语翻译

Möbius 函数 • 英文 Möbius function • 德文 Möbiusfunktion • 法文 fonction de Möbius