周定理

注意区分本文与 “周引理”.

周定理是复几何和代数几何理论中的基本定理, 由周炜良在 1949 年证明, 是代数几何–解析几何对应的一个部分. 简单来说, 定理将射影复解析空间与 $\mathbb{C}$ 上的射影代数簇对应起来.

从拓扑上看, 在解析拓扑下闭的射影对象在 Zariski 拓扑下也是闭的. 这样复解析方法也就能在代数几何中发挥作用.

1陈述与证明

应加入证明来源的参考文献.

定理 1.1 (周定理). 每个射影复解析空间 $X$ 都是代数的, 即 $X$ 是有限多个齐次复多项式的公共零点集.

以下证明来自 Cartan, Remmert 和 Stein:

证明. 设 $\sigma :{\mathbb{C}}^{n+1}\setminus \{0\}\to {\mathbb{P}}^n$ 为自然投影. 则对闭解析子簇 $X\subset {\mathbb{P}}^n$, 定义 $V={\sigma }^{-1}(X)\cup \{0\}\subset {\mathbb{C}}^{n+1}$. 由 Remmert–Stein 定理, 它也是 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中的解析闭子簇. 进一步, $V$ 还是锥, 即若 $z\in V$, 则对一切 $t\in \mathbb{C}$ 有 $tz\in V$.

现在我们来证明任意复解析锥 $V$ 总是有限多个齐次多项式的零点集. 由 $0$ 处的解析性, 我们能取定原点为圆心的开球 $B$ 和一系列 $B$ 中全纯函数 $f_1,\cdots ,f_k$ 使$$B\cap V=\{z\in B:\forall i,f_i(z)=0\}.$$可以选取 $B$ 足够小使 $f_i$ 们的幂级数展开都绝对收敛从而避开收敛性问题. 现设 $f_j={\sum }_{m=0}^{\infty }{f}_{j,m}(z)$, 其中 $f_{j,m}$ 表示 $f_j$ 的 Taylor 展开中齐 $m$ 次的多项式部分. 显然 $f_j(tz)={\sum }_{m=0}^{\infty }{t}^m{f}_{j,m}(z)$, 因此对固定的 $z\in V$, $f_j(tz)=0$ 对 $|t|<1$ 成立. 看作单变量的解析函数可知它恒 $0$, 这意味着 $f_{j,m}(z)=0$ 对 $z\in V$ 成立.

由此得知 $V\cap B$ 是由一族齐次多项式 $(f_{j,m})$ 的零点集定义的, 由齐次性 $V$ 也是由 $(f_{j,m})$ 的零点集定义的, 由于多项式环 $\mathbb{C}[z_1,\cdots ,z_{n+1}]$ 是 Noether 环, 故 $V$ 可以只由其中有限多个齐次多项式的零点定义.

现将诸资料沿 $\sigma$ 投影, 立刻得知 $\sigma (V)=X$ 是射影复代数簇.

$\square$

2推广

(...)

3应用

周定理立刻能应用到态射上去.

推论 3.1. 射影复流形间的全纯态射 $f:V\to W$ 总是代数的.

证明. 对 $V\subset {\mathbb{P}}^n,W\subset {\mathbb{P}}^m$, 取 Segre 嵌入 $i:{\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^m\hookrightarrow {\mathbb{P}}^{nm+n+m}$. 考虑像流形 $X:=\{i(v,f(v)):v\in V\}\subset {\mathbb{P}}^{nm+n+m}$, 容易得知它是闭的. $V$ 是复流形所以 $V$ 自然是解析的, $f$ 是全纯的, 故 $(v,f(v))$ 被 $y-f(x)$ 以及定义 $V$ 的零点确定, 这表明 $X$ 解析. 应用 1.1 可知 $V,W,X$ 都是代数的.

假设确定 $X$ 的多项式集为 $\{f_n(x,y)\},x\in {\mathbb{P}}^n,y\in {\mathbb{P}}^m$. 对于处于一般位置的 $v\in V$ (合理选取坐标与 $f_n$ 的系数在 $\mathbb{Q}$ 超越), 考虑诸 $\{f_n(v,y)\}$ 看作一系列 ${\mathbb{P}}^m$ 上的多项式的存在唯一交点 (记重数), 为 $w:=f(v)$. 由 $\mathbb{C}$ 是代数闭的, 此时 $f_n$ 生成的理想为极大理想 $\mathfrak{m}$. 由 Hilbert 零点定理 $\mathfrak{m}=(y-w)$, 这表明 $f_n(v,y)$ 的 $\mathbb{C}[y]$ 系数线性组合能得到 $y-w$. 考虑 $f_n$ 系数和 $v$ 在 $\mathbb{Q}$ 张成的域 $K$, 线性代数表明 $f_n(v,y)$ 的 $K[y]$ 系数线性组合就能得到 $y-w_0$, 其中 $w_0\in K$. 所以由唯一性 $w=w_0\in K$, 主元 $v$, 可得 $f_n$ 系数的域中的多项式 $g$ 使 $g(v)-w=0$, 由于 $v$ 的超越性, $f_n(v,g(v))=0$ 作为多项式成立. 由此不难得知 $f$ 必恒等于 $g$ 是从而是代数态射.

$\square$

推论 3.2. Riemann 面总是代数曲线.

证明. 由 Kodaira 嵌入定理 (也可以初等地使用 Riemann–Roch 定理), Riemann 面总是射影的, 然后应用定理 1.1.

$\square$

4相关概念

•	代数几何–解析几何对应

术语翻译

周定理 • 英文 Chow’s theorem • 德文 Satz von Chow • 法文 théorème de Chow