哑演算

在组合学中, 哑演算是研究多项式方程的一套方法, 可概述如下: 取一数列 $\{a_n\}$, 然后 “假装” 其中的 $n$ 是上标 $a^n$, 并用看似不严格的技术来 “证明” 一些多项式等式. 例如, 可以定义关于变量 $x$ 的多项式$$(a+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k{x}^{n-k}.$$在线性代数诞生之后, 这些技术得以严格化.

上述数列 $\{a_n\}$ 也可换成多项式列 $\{p_n(x)\}$. 在哑演算中, 常常考虑一类性质较好的多项式列, 称为 Sheffer 序列, 其中包括 Appell 序列. 哑演算也研究这些多项式列的性质.

另外, 我们也考虑算子序列 $\{D_n\}$, 如此可以得到关于算子的组合恒等式, 例如 Faà di Bruno 公式.

1例子

Bernoulli 多项式

以下内容是关于 Bernoulli 数 $\{B_n\}$ 的, 但其实对任何数列都成立.

定义哑变量 $B^n=B_n$. 对 $n\ge 0$, Bernoulli 多项式 $B_n(x)$ 定义为$$B_n(x)=(B+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k{x}^{n-k}.$$则通过 $(B+(x+y){)}^n=((B+x)+y{)}^n$, 可以 “证明” 以下的多项式恒等式:$$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)B_k(x)y^{n-k},$$另外, 还可以 “证明”$$\frac{d}{dx}{B}_n(x)=n{B}_{n-1}(x),$$因为两边都是 $(B+x{)}^n$ 对 $x$ 求导的结果.

递降阶乘

考虑函数列 $\{(x{)}_n{\}}_{n\ge 0}$, 其中$$(x{)}_n=x(x-1)\cdots (x-n+1)$$是递降阶乘. 对多项式 $f$ 而言, 以下 Newton 差分公式$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\Delta }^{n}f(a)}{n!}(x-a{)}_n$$可以视作 Taylor 级数的哑演算版本.

以上主要来源是 https://math.stackexchange.com/a/1085165, 可以接着搬运一些.

术语翻译

哑演算 • 英文 umbral calculus • 法文 calcul ombral (m)