Bernoulli 数

Bernoulli 数是一列有理数, 记为 $B_n$, 其前几项为$$B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30},\dots$$当 $n>1$ 为奇数时, 都有 $B_n=0$; 当 $n>0$ 为偶数时, 正数和负数交替出现.

Bernoulli 数 $B_n$ 是 Bernoulli 多项式 $B_n(x)$ 于 $x=0$ 的取值. 另外, Bernoulli 数与 Riemann $\zeta$ 函数在整数上的取值密切相关.

有的文献约定 $B_1$ 为 $1/2$, 而非这里的 $-1/2$. 这种约定常记为 $B_n^{+}$, 即 $B_0^{+}=1$, $B_1^{+}=1/2$, 等等.

1定义

定义 1.1 (Bernoulli 数). 对整数 $n\ge 0$, Bernoulli 数 $B_n$ 由以下 Taylor 级数给出: $$\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{B_n}{n!}{t}^n.$$(1)

下表列出 Bernoulli 数的前若干项.

$$\begin{array}{cccccccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ B_n& 1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{6}& 0& -\frac{1}{30}& 0& \frac{1}{42}& 0& -\frac{1}{30}& 0& \frac{5}{66}\\ n& & 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20\\ B_n& & 0& -\frac{691}{2730}& 0& \frac{7}{6}& 0& -\frac{3617}{510}& 0& \frac{43867}{798}& 0& -\frac{174611}{330}\end{array}$$

2性质

奇数值

对 (1) 做换元 $t\mapsto -t$, 则有:

$$\frac{-t}{{\mathrm{e}}^{-t}-1}=\frac{t{\mathrm{e}}^t}{{\mathrm{e}}^t-1}=t+\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}$$

对比系数即可发现当 $n\ge 2$ 时:

$$(-1{)}^n{B}_n=B_n$$

这意味着除了 $n=1$ 外所有的奇数阶 Bernoulli 数都为零.

迭代公式

利用幂级数之间的 Cauchy 乘积, 可知:

$$\begin{array}{rl}\frac{t{\mathrm{e}}^t}{{\mathrm{e}}^t-1}& =\sum _{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}\sum _{k\ge 0}\frac{t^k}{k!}=\sum _{m\ge 0}\frac{t^m}{m!}\sum _{n=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)B_n\end{array}$$

现在根据上一节的结论, 便可发现当 $m\ge 2$ 时:

$$B_m=\sum _{n=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)B_n=\sum _{n=0}^{m-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)B_n+B_m$$

因此当 $m\ge 1$ 时总有:

$$\sum _{n=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{n}\right)B_n=0$$

利用这一点, 我们就可以得到 Bernoulli 数的迭代公式:

定理 2.1. 当 $m\ge 1$ 时, 总有: $$B_m=-\frac{1}{m+1}\sum _{n=0}^{m-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{n}\right)B_n$$

推论 2.2. 对于所有非负整数 $n$, 总有 $B_n\in \mathbb{Q}$.

自然数的幂和

可以用 Bernoulli 数来解决自然数幂和问题. 记

$$S_m(n)=\sum _{k=1}^n{k}^m,$$它可以用 $n$ 的 $m+1$ 次多项式来表示. 接下来具体求出这个多项式. 考虑指数生成函数$$F(n;x)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{S_m(n)}{m!}{x}^m,$$则$$\begin{array}{rl}F(n;x)& =\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=1}^n{k}^m\frac{x^m}{m!}\\ & =\sum _{k=1}^n\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(kx{)}^m}{m!}\\ & =\sum _{k=1}^n{\mathrm{e}}^{kx}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{nx}}{{\mathrm{e}}^{-x}-1}.\end{array}$$进一步$$\begin{array}{rl}F(n;x)& =\frac{1-{\mathrm{e}}^{nx}}{{\mathrm{e}}^{-x}-1}\\ & =\frac{{\mathrm{e}}^{nx}-1}{x}\cdot \frac{-x}{{\mathrm{e}}^{-x}-1}\\ & =\left(\sum _{s=1}^{\infty }\frac{n^s}{s!}{x}^{s-1}\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{B}_k}{k!}{x}^k\right),\end{array}$$比较系数, 最终得到

定理 2.3. $$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k}\right)(-1{)}^k{B}_k{n}^{m+1-k}.$$

Riemann $\zeta$ 函数的特殊值

参见: Riemann zeta 函数

根据 Cauchy 积分公式, 我们知道当 $0<r<2\pi$ 时:

$$\frac{B_{2k}}{(2k)!}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=r}\underset{f_k(z)}{\underbrace{\frac{z^{-2k}}{{\mathrm{e}}^z-1}}}\mathrm{d}z$$

根据留数定理, 我们对于整数 $n$, $f_k(z)$ 在 $z=2\pi in$ 的留数为 $(-1{)}^k(2\pi n{)}^{-2k}$. 因此当 $C_N$ 表示以 $(2N+1)\pi$ 为半径的圆, 则有:

$$\frac{B_{2k}}{(2k)!}=\frac{2(-1{)}^{k+1}}{(2\pi {)}^{2k}}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^{2k}}+\frac{1}{2\pi i}{\int }_{C_N}{f}_k(z)\mathrm{d}z$$

根据我们对 $C_N$ 的选取, 我们知道必然存在固定的 $0<r<\pi$ 使 $|z-2\pi iN|\ge r$, 所以 $|e^z-1{|}^{-1}$ 有界. 因此:

$${\int }_{C_N}{f}_k(z)\mathrm{d}z=O(N^{-2k})$$

将此结果回代并令 $N\to +\infty$, 即得 $\zeta (s)$ 的偶数值公式:

定理 2.4. 当 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 时, 总有: $$\zeta (2k)=(-1{)}^{k+1}\frac{(2\pi {)}^{2k}{B}_{2k}}{2(2k)!}$$

特别地, 当 $k=1$ 时定理 2.4 就能给出 Basel 问题的解:

$$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

3相关概念

•	Bernoulli 多项式
•	Faulhaber 公式