局部常纤维范畴

局部常纤维范畴是特殊的纤维范畴, 其底范畴的态射在纤维上诱导的函子都是范畴等价.

1定义

定义 1.1. 称函子 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 为局部常纤维范畴, 指它首先是纤维范畴 (即拉回纤维化), 其次 $\mathcal{C}$ 中任一态射 $f:x\to y$ 在纤维上诱导的函子 $f^{\ast }:{\mathcal{E}}_y\to {\mathcal{E}}_x$ 都是范畴等价.

注 1.2. 显然, 此时 $p$ 也会是推出纤维化, 对应的推出函子 $f_{!}:{\mathcal{E}}_x\to {\mathcal{E}}_y$ 就是 $(f^{\ast }{)}^{-1}$. 所以定义 1.1 实际上关于推出和拉回两个方向是对称的.

2$(\infty ,1)$-范畴论性质

本节中范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴. 注意上面的内容都可以照搬到 $(\infty ,1)$-范畴上.

对 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 以 $|\mathcal{C}|$ 表示 $\mathcal{C}$ 的几何实现, 即把 $\mathcal{C}$ 的所有映射逆掉得到的生象. 则以下命题依定义显然:

命题 2.1. 推出纤维化 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 局部常当且仅当其直化函子 $\mathcal{C}\to \mathsf{Cat}$ 穿过 $|\mathcal{C}|$; 拉回纤维化类似.

对于纤维是生象的函子, 局部常还有以下刻画:

命题 2.2. 设函子 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 的纤维都是生象. 则 $p$ 是局部常纤维化, 当且仅当$$\mathcal{E}|\mathcal{E}|\mathcal{C}|\mathcal{C}|p|p|$$是范畴的拉回方块. 此时如 $E$ 是生象, $$\mathcal{E}E\mathcal{C}|\mathcal{C}|p\bar{p}$$是范畴的拉回方块, 则 $(E,\bar{p})=(|\mathcal{E}|,|p|)$.

证明. 由命题 2.1 和直化的函子性知 “当” 为显然, 且 “仅当” 化归到命题后一句话. 下证之. 由直化的一般性质, $|\mathcal{E}|={\mathrm{colim}}_{\mathcal{C}}p$, $E={\mathrm{colim}}_{|\mathcal{C}|}\bar{p}$; 于是由 $\mathcal{C}\to |\mathcal{C}|$ 共尾即知 $(|\mathcal{E}|,|p|)=(E,\bar{p})$.

$\square$

3相关概念

•	在伴随求值的范畴语义中, 计算类型被解释到局部常纤维范畴中.

术语翻译

局部常纤维范畴 • 英文 locally constantly fibred category