函子

在范畴论中, 函子是范畴之间的 “映射”. 从范畴 $\mathcal{C}$ 到范畴 $\mathcal{D}$ 的函子把 $\mathcal{C}$ 的对象映到 $\mathcal{D}$ 的对象, 把 $\mathcal{C}$ 的态射映到 $\mathcal{D}$ 的态射.

例如,

•	从拓扑空间范畴到集合范畴有一个遗忘函子. 它把每个拓扑空间映到其中点的集合, 把拓扑空间之间的连续映射映到集合之间的映射.

•	基本群是从拓扑空间范畴到群范畴的函子, 它把拓扑空间对应到它的基本群, 把连续映射对应到它诱导的基本群之间的同态.

我们也常常使用以下术语: 对于一种把 $\mathcal{C}$ 的对象映到 $\mathcal{D}$ 的对象的操作, 如果能将这种操作看成某个函子的一部分, 就说这种操作具有函子性, 或是自然的.

1定义

定义 1.1 (函子). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是范畴. 一个从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子 (或协变函子) $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 由以下信息组成:

•	一个映射$$F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathrm{Ob}(\mathcal{D}),$$将 $\mathcal{C}$ 的对象 $X$ 映到 $\mathcal{D}$ 的对象 $F(X)$.

•	对任意 $X,Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个映射$$F:\mathcal{C}(X,Y)\to \mathcal{D}(F(X),F(Y)),$$将 $\mathcal{C}$ 的态射 $f:X\to Y$ 映到 $\mathcal{D}$ 的态射 $F(f):F(X)\to F(Y)$.

这些信息满足以下条件:

•	对每个 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有$$F(1_X)=1_{F(X)},$$其中 $1_X$ 与 $1_{F(X)}$ 表示恒同态射.

•	对任意 $X,Y,Z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 以及任意 $f\in \mathcal{C}(X,Y)$ 和 $g\in \mathcal{C}(Y,Z)$, 有$$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).$$换言之, $F$ 把 $\mathcal{C}$ 中的交换图变成 $\mathcal{D}$ 中的交换图: $$XYF(X)F(Y)ZF(Z)\text{ .}fg\circ fg⟹F(f)F(g\circ f)F(g)$$

定义 1.2 (反变函子). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是范畴. 从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的反变函子是从 $\mathcal{C}$ 的反范畴到 $\mathcal{D}$ 的函子 (定义 1.1) $$F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}.$$

具体地说, 这样的反变函子由以下信息给出:

•	一个映射$$F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathrm{Ob}(\mathcal{D}),$$将 $\mathcal{C}$ 的对象 $X$ 映到 $\mathcal{D}$ 的对象 $F(X)$.

•	对任意 $X,Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个映射$$F:\mathcal{C}(X,Y)\to \mathcal{D}(F(Y),F(X)),$$将 $\mathcal{C}$ 的态射 $f:X\to Y$ 映到 $\mathcal{D}$ 的态射 $F(f):F(Y)\to F(X)$.

这些信息满足以下条件:

•	对每个 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 有$$F(1_X)=1_{F(X)}.$$

•	对任意 $X,Y,Z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 以及任意 $f\in \mathcal{C}(X,Y)$ 和 $g\in \mathcal{C}(Y,Z)$, 有$$F(g\circ f)=F(f)\circ F(g).$$换言之, $F$ 把 $\mathcal{C}$ 中的交换图变成 $\mathcal{D}$ 中的交换图: $$XYF(Z)F(Y)ZF(X)\text{ .}fg\circ fg⟹F(g)F(g\circ f)F(f)$$

定义 1.3 (函子范畴). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是范畴. 所有从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子, 以及它们之间的自然变换, 构成一个范畴, 称为 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子范畴, 记为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$.

注 1.4. 函子范畴 (定义 1.3) 给范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 的每个态射空间赋予了范畴的结构. 这描述了 $\mathsf{Cat}$ 的 $2$-范畴结构.

2例子

•	遗忘函子
•	自由函子

3相关概念

术语翻译

函子 • 英文 functor • 德文 Functor (m) • 法文 foncteur (m) • 日文 関手

函子性 (形容词) • 英文 functorial • 德文 funktoriell • 法文 fonctoriel

函子性 (名词) • 英文 functoriality • 德文 Funktorialität • 法文 fonctorialité

自然 (形容词) • 英文 natural • 德文 natürlich • 法文 naturel

协变函子 • 英文 covariant functor • 德文 kovarianter Funktor • 法文 foncteur convariant

反变函子 • 英文 contravariant functor • 德文 kontravarianter Funktor • 法文 foncteur contravariant