形式幂级数

形式幂级数是多项式的一种推广. 大致来说, 形式幂级数就是可以有无穷多项的多项式. 例如, 无限求和$$1+x+x^2+\cdots$$是关于变量 $x$ 的形式幂级数, 但不是关于 $x$ 的多项式.

形式幂级数的概念与幂级数类似. 但在考虑形式幂级数时, 我们不关心级数的收敛性, 而仅关注其代数性质.

给定环 $A$ 与变元 $x_1,\cdots ,x_n$, $A$ 上的全体形式幂级数可以构成环 $A[[x_1,\cdots ,x_n]]$, 称为形式幂级数环. 在代数–几何对应下, 形式幂级数环对应的几何对象是形式圆盘.

1定义

定义 1.1 (形式幂级数). 设 $A$ 是环.

•	$A$ 上关于变元 $x$ 的形式幂级数是形如$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$$的无限求和表达式, 其中 $a_i\in A$ $(i\in \mathbb{N})$. 式中, 每个 $a_i{x}^i$ 称为幂级数 $f$ 的项, 其中 $a_i$ 称为该项的系数. 所有这样的形式幂级数构成的集合记为 $A[[x]]$.

•

$A$ 上关于 $n$ 个变元 $x_1,\dots ,x_n$ 的形式幂级数是形如$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n\ge 0}{a}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$$的表达式, 其中 $i_1,\dots ,i_n$ 取遍所有非负整数, $a_{i_1,\dots ,i_n}\in A$. 式中, 每个 $a_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 称为幂级数 $f$ 的项, 其中 $a_{i_1,\dots ,i_n}$ 称为该项的系数. 所有这样的形式幂级数构成的集合记为 $A[[x_1,\dots ,x_n]]$.

形式幂级数可以相加和相乘, 从而 $A[[x]]$ 和 $A[[x_1,\dots ,x_n]]$ 有环结构, 称为 $A$ 上的形式幂级数环. 当 $A$ 是交换环时, 形式幂级数环实际上是 $A$-交换代数.

定义 1.2 (加法与乘法).

•

形式幂级数的加法是$$\sum _{\underline{i}\ge 0}{a}_{\underline{i}}{\underline{x}}^{\underline{i}}+\sum _{\underline{i}\ge 0}{b}_{\underline{i}}{\underline{x}}^{\underline{i}}=\sum _{\underline{i}\ge 0}(a_{\underline{i}}+b_{\underline{i}}){\underline{x}}^{\underline{i}}$$

•

形式幂级数的乘法是$$\left(\sum _{\underline{i}\ge 0}{a}_{\underline{i}}{\underline{x}}^{\underline{i}}\right)\left(\sum _{\underline{i}\ge 0}{b}_{\underline{i}}{\underline{x}}^{\underline{i}}\right)=\sum _{\underline{i}\ge 0}\left(\sum _{0\le \underline{j}\le \underline{i}}{a}_{\underline{j}}{b}_{\underline{i}-\underline{j}}\right){\underline{x}}^{\underline{i}}$$其中, $\underline{i}$ 是 $i_1,\cdots ,i_n$ 的简写, ${\underline{x}}^{\underline{i}}:=x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$.

例如, 单变量形式幂级数的乘法定义如下: 对环 $A$ 上的形式幂级数 $f(x)={\sum }_n{a}_n{x}^n$ 及 $g(x)={\sum }_n{b}_n{x}^n$, 定义$$f(x)g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n.$$

2性质

基本性质

•	对环 $A$, $A[[x]]$ 是多项式环 $A[x]$ 在素理想 $(x)$ 处的局部化 $A[x{]}_{(x)}$ 的完备化.

•	对环 $A$, 有环的同构$$A[[x_1,x_2,\dots ,x_n]]\simeq A[[x_1]][[x_2]]\cdots [[x_n]].$$

代数性质

•	如果 $A$ 是整环, 则 $A[[x]]$ 也是.

•	设有环 $A$ 上的形式幂级数 $f(x)={\sum }_n{a}_n{x}^n$. 则 $f(x)$ 在 $A[[x]]$ 中可逆当且仅当 $a_0$ 在 $A$ 中可逆.

•	设 $A$ 是交换环. 则形式幂级数环 $A[[x]]$ 的幂零根满足$$\mathrm{Nil}(A[[x]])\subseteq \mathrm{Nil}(A)[[x]].$$

3相关概念

•	幂级数
•	形式 Laurent 级数
•	形式几何

术语翻译

形式幂级数 • 英文 formal power series • 德文 formale Potenzreihe • 法文 série formelle