局部化

本文介绍的是环的局部化. 关于其它含义, 请参见 “局部化 (多义词)”.

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

局部化是交换代数中的常见操作, 它把环里一些元素变得可逆, 是分式域概念的推广. 在代数几何的观点下, 局部化所得的环是原来的环的某些 “局部”, 其谱自然地是原来环的谱的子集. 既然如此, 局部化的环通常会变得更简单. 我们也常常通过研究环的各个局部化来研究环本身.

1定义

环的局部化

对交换环 $A$ 及其乘性子集 $S$ 而言, 局部化 $S^{-1}A$ 就是在 $A$ 中把 $S$ 的元素都变得可逆, 所得的环.

定义 1.1 (局部化). 交换环 $A$ 对乘性子集 $S$ 的局部化是环 $S^{-1}A$, 带有环同态 $A\to S^{-1}A$, 它把 $S$ 中元素映射到可逆元, 并且是所有这样的环同态中初始者. 换言之, 其满足如下万有性质: 对任意环同态 $f:A\to B$, 如果 $f(S)\subseteq B^{\times }$, 就存在唯一映射 $f_S:S^{-1}A\to B$ 使得如下图表交换: $$AB{S}^{-1}A\text{ .}f{f}_S$$

以上定义的局部化可以具体构造出来. 定义环$$S^{-1}A=\left\{\frac{a}{s}|a\in A,s\in S\right\}/\sim ,$$其中$$\frac{a}{s}\sim \frac{b}{t}⟺\exists u\in S,u(at-bs)=0.$$$S^{-1}A$ 的加法、乘法定义为$$\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st},\frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t}=\frac{ab}{st},$$其零元、幺元分别为 $0/1$ 与 $1/1$. 自然映射 $A\to S^{-1}A$ 即 $a\mapsto a/1$. 不难验证其满足以上泛性质. 不引起歧义时, 也以 $a$ 表示 $a/1\in S^{-1}A$, 这样 $a/s$ 也就是 $s^{-1}a$.

定义 1.2 (常用记号). 在上述定义中,

•	当 $S=\{1,a,a^2,\dots \}$ 是一个元素 $a$ 生成的乘性子集时, 局部化 $S^{-1}A$ 也记作$$A_a\text{或}A[a^{-1}]\text{或}A[1/a],$$称作对 $\mathbf{a}$ 局部化.
•	当 $S=A\setminus \mathfrak{p}$ 是素理想 $\mathfrak{p}$ 的补集时, $S^{-1}A$ 也记作 $A_{\mathfrak{p}}$, 称作在 $\mathfrak{p}$ 处局部化或对 $\mathfrak{p}$ 局部化.

注意此记号与表示 $p$ 进数的 ${\mathbb{Z}}_p$ 略有冲突, 故 $\mathbb{Z}$ 对一个整数 $a$ 局部化只写作 $\mathbb{Z}[a^{-1}]$ 或 $\mathbb{Z}[1/a]$.

模的局部化

局部化一个环时, 其上的模也可作局部化.

定义 1.3 (模局部化). 记号同上, 设 $M$ 是 $A$-模. 定义 $S^{-1}A$-模$$S^{-1}M=\left\{\frac{m}{s}|m\in M,s\in S\right\}/\sim ,$$其中$$\frac{m}{s}\sim \frac{n}{t}⟺\exists u\in S,u(mt-ns)=0.$$$S^{-1}M$ 的加法、数乘有显然的描述. 熟悉张量积者不难验证 $S^{-1}M\cong M{\otimes }_A{S}^{-1}A$.

在定义 1.2 的情形下, 也常用 $M_a$、$M[1/a]$ 或 $M_{\mathfrak{p}}$ 表示相应的模局部化.

2性质

和商环类似, 局部化里的理想是原来环中理想的一部分:

命题 2.1. $A$ 是环, $S$ 是其乘性子集. 则 $I\mapsto S^{-1}I$, $J\mapsto J\cap A$ 给出 $A$ 中与 $S$ 无交的理想与 $S^{-1}A$ 中真理想的一一对应, 素理想对应于素理想. 于是 $\mathrm{Spec}{S}^{-1}A$ 自然成为 $\mathrm{Spec}A$ 的子集.

在以上对应下, 局部化和取商交换:

命题 2.2. $A$ 是环, $S$ 是其乘性子集, $I$ 是其理想, 满足 $S\cap I=\varnothing$. 则有自然同构 ${\bar{S}}^{-1}(A/I)\cong S^{-1}A/S^{-1}I$, 其中 $\bar{S}$ 指 $S$ 在 $A/I$ 中的像.

证明. 二者都是从 $A$ 出发, 把 $S$ 打到可逆元, 把 $I$ 打到 $0$ 的环同态中初始者.

$\square$

在素理想处局部化会得到局部环:

命题 2.3. $A$ 是环, $\mathfrak{p}$ 是其素理想. 则 $A_{\mathfrak{p}}$ 是局部环, 极大理想为 $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$.

模局部化是正合函子:

命题 2.4. $S^{-1}:A\text{-}\mathsf{Mod}\to S^{-1}A\text{-}\mathsf{Mod}$ 保持余极限且正合. 如 $M$ 是平坦 $A$-模, 则 $S^{-1}M$ 是平坦 $A$-模, 也是平坦 $S^{-1}A$-模.

证明. $S^{-1}$ 无非就是 $-{\otimes }_A{S}^{-1}A$, 自然保持余极限. 至于正合, 只需证明 $S^{-1}A$ 是平坦 $A$-模, 故我们直接证后一句话. 注意$$S^{-1}M=\underset{s\in S}{\mathrm{colim}}M,$$其中余极限的指标范畴对象集为 $S$, ${\mathrm{Hom}}_S(s,t)=\{u\in S\mid t=su\}$, 然后图表每一项都是 $M$, $u\in \mathrm{Hom}(s,t)$ 对应的映射就是 “乘以 $u$”. 于是 $S^{-1}M$ 就是平坦 $A$-模的余极限, 也是平坦 $A$-模. 最后, 由于对 $S^{-1}A$-模 $M$, $N$, 有 $M{\otimes }_{A}N=M{\otimes }_{S^{-1}A}N$, 故一个 $S^{-1}A$-模平坦和它作为 $A$-模平坦是一回事.

$\square$

上面证明了模的平坦性在局部化下保持. 此外, 还有很多性质在局部化下保持:

•	整环的局部化是整环.
•	Noether 环的局部化是 Noether 环.
•	唯一分解整环的局部化是唯一分解整环.
•	Dedekind 整环的局部化是 Dedekind 整环.
•	正则环的局部化是正则环.

……

还有一些性质, 它对一个环成立, 当且仅当对其在每个素理想或每个极大理想处的局部化成立. 此类性质多如繁星, 不胜枚举. 在此仅叙述几条基本的, 余参见主条目局部性质. 由此可见, 局部化是研究环的重要手段.

命题 2.5. $A$ 是环, $M$ 是 $A$-模, 以下几条等价:

1.	$M=0$.
2.	对 $A$ 的任一素理想 $\mathfrak{p}$, $M_{\mathfrak{p}}=0$.
3.	对 $A$ 的任一极大理想 $\mathfrak{m}$, $M_{\mathfrak{m}}=0$.

从而如 $f:M\to N$ 是 $A$-模同态, 则它单 (满) 当且仅当它在各个素理想或极大理想处局部化为单 (满).

证明. 1 推 2 推 3 为显然. 如 $M\ne 0$, 取非零元 $m\in M$, 并取极大理想 $\mathfrak{m}\supseteq \mathrm{Ann}(m)$. 依定义立知 $M_{\mathfrak{m}}\ne 0$.

至于最后一句话, 由于局部化是正合函子, 保持核与余核, 对 $\ker (f)$ 与 $\mathrm{coker}(f)$ 应用刚才所证, 即得结论.

$\square$

3例子

•	整环的分式域是一种局部化, 无非是取 $S=A\setminus 0$.
•	一般地, 取 $S$ 为 $A$ 中所有非零因子的集合, 所得局部化 $S^{-1}A$ 称为 $A$ 的完全分式环.
•	局部化未必是单射, 最简单的例子是 $(\mathbb{Z}/6{)}_3=\mathbb{Z}/2$.
•	对拓扑空间 $X$, 考虑其复值连续函数环 $\mathbb{C}(X)$. 对点 $x\in X$, 定义$${\mathfrak{m}}_x=\{f\in \mathbb{C}(X)\mid f(x)=0\},$$这是 $\mathbb{C}(X)$ 的极大理想, 剩余域为 $\mathbb{C}$. 其局部化可描述如下: $$\{(U,f)\mid U\subseteq X开,f\in \mathbb{C}(U)\}/\sim ,$$其中$$(U,f)\sim (V,g)⟺\exists W\subseteq U\cap V开,f{|}_W=g{|}_W.$$该局部化称为 $x$ 处的函数芽环, 可记作 $\mathbb{C}(X,x)$. 这解释了 “局部化” 一词的几何直观, 即在一点局部化所得之环, 只有该点的局部信息.

4与范畴局部化的关系

在代数–范畴对应的观点下, 环局部化是一种范畴局部化.

命题 4.1. $A$ 是环, $S$ 是其乘性子集. 则有范畴等价$$(A\text{-}\mathsf{Mod})[S^{-1}]\simeq S^{-1}A\text{-}\mathsf{Mod},$$其中左边的 $S$ 指的是所有形如 “乘以 $s$”, $s\in S$ 的模自同态在态射范畴中沿余极限生成的那些同态.

5相关概念

•	局部化 (范畴论)
•	局部性质

术语翻译

局部化 (动词) • 英文 localize • 英式英文 localise • 德文 lokalisieren • 法文 localiser • 拉丁文 localizo • 古希腊文 ἑντοπίζω

局部化 (名词) • 英文 localization • 英式英文 localisation • 德文 Lokalisierung (f) • 法文 localisation (f) • 拉丁文 localizatio (f) • 古希腊文 ἑντοπισμός (m)